【正文】 3 n級(jí)行列式 約定：從本節(jié)開(kāi)始 , 如不做特別申明 , 課程 中提到數(shù)為一固定的數(shù)域 P中的元素 . 設(shè) a是一個(gè)數(shù) . 由 a構(gòu)成的一級(jí)行列式為 |a |=a 一級(jí)行列式： 二級(jí)行列式 2112221122211211aaaaaaaa?? 設(shè) a11, a12, a21, a22是四個(gè)數(shù) , 稱下式 為一個(gè)二級(jí)行列式 . 三級(jí)行列式 333231232221131211aaaaaaaaa 312213322113332112312312322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa?????? 類(lèi)似地，稱下式 為一個(gè)三級(jí)行列式 . 定義 定義 n級(jí)行列式為 其中 , 表示對(duì)所有的 n級(jí)排列求和 . 12 nj j j? 從而，一 n級(jí)行列式的展開(kāi)式為 n!個(gè)項(xiàng)的代數(shù)和，而每一項(xiàng)為行列式中不同行和不同列的 n個(gè)數(shù)的 乘積 . 1212121 1 1 2 12 1 2 2 212121() ( )nnnnn j j jj j n jj j jn n n na a aa a aa a aa a a??? ?2374D?? 例 計(jì)算。 2 排列 (permutation) 定義 由 1, 2, …, n 組成的一個(gè)有序組稱為一個(gè) n級(jí)排列 . 性質(zhì) 共有 n！ 個(gè) n級(jí)排列 . 定義 在一個(gè) n級(jí)排列中 , 如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反 , 即前面的數(shù)大于后面的數(shù) , 則稱它們?yōu)榇伺帕械囊粋€(gè)反序 . 一個(gè)n級(jí)排列中的反序總數(shù)稱為此排列的反序數(shù) . 在一個(gè) n級(jí)排列 j1 j2… jn中 , 記此排列的反序數(shù)為： ? ( j1j2… jn) 定義 一 n級(jí)排列的反序數(shù)為偶數(shù)則稱為 偶排列 。 Laplace’s Theorem 復(fù)習(xí)及習(xí)題課 Ch. 3 Determinants 可應(yīng)用于判定方陣是否可逆； 行列式是方形矩陣一個(gè)十分重要的數(shù)字 特征； 可應(yīng)用于計(jì)算可逆矩陣的逆矩陣； 可應(yīng)用于解 一類(lèi) 線性方程組： Gramer 法則 . 167。 行列式按一行 (列 )展開(kāi) 167。 行列式的性質(zhì) 167。 排列 (permutation) 167。 對(duì)稱多項(xiàng)式 * 稱形為 的式子為關(guān)于變?cè)?x1, x2,… , xn的初等對(duì)稱多項(xiàng)式 . 1 1 22 1 2 1 3 1 2 3 112nn n nnnx x xx x x x x x x x x xx x x????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????? ?? 定義 1 n元多項(xiàng)式 f(x1, x2, … , xn)稱為對(duì)稱多項(xiàng)式 ， 如果對(duì)任意的 1? I ? j ? n, 有 f(x1, … , xi, … , xj, … , xn) = f(x1, … , xj, … , xi, … , xn) 引理 設(shè) 是數(shù)環(huán) R上一 n元多項(xiàng)式 . 以初等對(duì)稱多項(xiàng)式 ?i代替 xi (1?i ?n), 得到一個(gè)關(guān)于 ?1, ?2, … , ?n的多項(xiàng)式 ： 如果 f(?1,?2, … , ?n)=0, 那么 f(x1, x2, … , xn)=0. 1212121 2 1 2, , ,( , , , ) nmnkkkn k k k nk k kfa? ? ? ? ? ?? ?1212121 2 1 2, , ,( , , , ) nmnkkkn k k k nk k kf x x x a x x x? ? 性質(zhì) 如果 是對(duì)稱多項(xiàng)式 f(x1, x2, … , xn)的一項(xiàng) ， 則 也是 f(x1, x2, … , xn)的一項(xiàng) , 其中 是 k1, k2, … , kn的一個(gè)排列 . 1212 nkkk na x x x1212iii nkkkna x x x12, , ,ni i ik k k 定理 (對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理 ) 任一 n元對(duì)稱多項(xiàng)式 f (x1, x2, … , xn)都可 (唯一地 )表為初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 ， 即 ， 存在一個(gè) n元多項(xiàng)式 ? (y1, y2, … , yn)使得 f (x1, x2, … , xn)=? (?1, ?2, … , ?n) 例 1 將三元對(duì)稱多項(xiàng)式 f(x1, x2, x3)=x13+x23+x33表為初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 . 例 2 將 n元對(duì)稱多項(xiàng)式 f(x1, x2, … , xn)=?x12x22表為初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 . 167。 ( ) ] ( ) ( )2xag x f x f a f x f a?? ? ? ? 例 5 證明：如果 a是 f(x)的一個(gè)根 ， 并且 a是 f?(x)的一個(gè) k(?1)重根 , 則 a是 f ?(x)的一個(gè) k+1重根 . 例 8 證明：如果 f(x)| f(xn), 那么 f(x)的根 只能是零或單位根 . 例 7 證明定理 5的逆 :設(shè) p(x)是 次數(shù) 0并且首項(xiàng)系數(shù)為１的多項(xiàng)式 .如果對(duì)任意的多項(xiàng)式 f(x)和 g(x), 由 p(x)| f(x)g(x), 就一定有 p(x) | f(x) 或 p(x)| g(x), 則 p(x)是一個(gè)不可約 多項(xiàng)式 . 例 9 證明 :如果 是有理系數(shù)多項(xiàng)式 f (x)的無(wú)理根 (a, b?0均為有理數(shù) ), 則 也是 f(x)的根 . 2ab?2ab?補(bǔ)充一 ：一元高次方程的公式解問(wèn)題 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的公式解為 1. 一元二次方程的公式解 2 42b b a cxa? ? ?? 2. 一元三次方程的公式解 (Cardano公式 ) 1515年：意大利波羅利亞大學(xué) （ 當(dāng)時(shí)歐洲最 著名 )的 Ferro教授 1535年：意大利威尼斯數(shù)學(xué)家 Tartaglia重新 發(fā)現(xiàn)并仍然保密只透露給意大利米蘭數(shù)學(xué) 家 Cardano. 1545年 : Cardano 沒(méi)有信守諾言 , 在 《 大法 》一 書(shū)中予以公布 . 一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 的公式解 : 2 3 23233 2 9 2 703 2 7a c b b a b c a dyyaa? ? ?? ? ? 首先化為 x3+b/a x2+c/a x+d/a =0 再令 y=x+b/3a, 方程化為 即求解一般的一元三次方程可歸結(jié)為求解如下的一元三次方程 : 3 0x p x q? ? ?再作代換 : x=z?p/(3z) 得 333 027pzqz? ? ?以及 363 027pz q z? ? ? 由一元二次方程的公式解得 : 2 3 2 33312 3 2 3 23322 3 2 2 33321 1 1 12 4 27 2 4 271 1 1 12 4 27 2 4 271 1 1 12 4 27 2 4 27qqx q p q pqqx q p q pqqx q p q p?????? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? 其中 ?為 1的三次方根 . 3. 一元四次方程的公式解 (1 5 2 2年 , Cardano的學(xué)生 Ferrari ) 一元四次方程 x4+ax3+bx2+cx+d=0 的公式解 : 即 : (x2+ax/2)2= (a/4?b)x2 ?cx?d 兩邊加 (x2/2+ax/2)t+t2/4 得 : (x2+ax/2+t/2)2= (a2/4?b+t)x2+(at/2 ?c)x+(t2/4 ?d) 選取 t 使得右邊的判別式為零 (配成完全平方 ): (at/2 ?c)2x ?4 (a2/4?b+t)(t2/4 ?d)=0 即 : t3?bt2+(ac?4d)t ? a2d+4bd ?c2=0 利用 Cardano公式求任一解 t0, 則有 : 利用 Cardano公式求任一解 t0, 則有 : (x2+ax/2+t0/2)2={ (a2/4?b+t0)1/2x+(t0/4?d)1/2}2 此方程又等價(jià)于兩個(gè)二次方程 : 222 000222 000( ) ( ) 02 4 2 4( ) ( ) 02 4 2 4ttaax b t x dttaax b t x d?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ??? 解這兩個(gè)二次方程得四個(gè)根 . 4. 一元五次以上的方程無(wú)公式解 (1824年 , 挪威人 Abel, 1831年 法國(guó)人 Galois) 167。 4. (i), (ii). 習(xí)題課 ： 例 1 在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上分解下列多項(xiàng)式的因式 ?(x)=x4+1 例 2 求下列多項(xiàng)式的公根 ?(x)=x3+2x2+2x+1； g(x)=x4+ x3+2x2+x+1 例 3 證明：多項(xiàng)式 xd?1整除 xn?1的充分必要條件為 d |n. 例 6 舉例說(shuō)明 “ 如果 a是 f ?(x)的一個(gè) m重根則是 f(x)的一個(gè) m+1重根 ” 是不正確的 . 例 4 如果 a是 f???(x)的一個(gè) k重根 ， 則是下述 多項(xiàng)式的 k +3重根 ( ) [ 39。 2.。 3) p2 | a0。 1， 則稱 g(x)為 本原多項(xiàng)式 . 兩個(gè)相伴的本原多項(xiàng)式僅相差一個(gè)符號(hào) . 高斯 (Gauss)引理 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式 . 定理 如果一個(gè)次數(shù)大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式在 Q上可約 , 則它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積 . 推論 設(shè) f(x), g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式 , 并且 g(x)是本原多項(xiàng)式 . 如果 f(x)=g(x)h(x), 其中 h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式 , 則 h(x)一定是整系數(shù)多項(xiàng)式 . 由此推論得到如下的尋求任意整系數(shù) (從而 任意有理系數(shù)多項(xiàng)式 ) 的全部有理根的必要條件 : 定理 設(shè) ?(x)=anxn+… +a1x+a0 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式 , 如果 u/v是 ?(x)的一個(gè)有理根 , 其中 (u, v)=1, 那么 (i) v|an, u|a0. 特別地 , 如果 an=1, 則 ?(x) 的有理根全為整根 , 并且是 a0的因子 . (ii) ?(x)=(x?u/v )q(x), q(x)是一整系數(shù)多項(xiàng)式 . 注意到： 如果 u/v是整系數(shù)多項(xiàng)式 ?(x)的一個(gè) 有理根 , 則 ?(x)=(x?u/v)q(x), 并且 q(x)為整 系數(shù)多項(xiàng)式 . 從而 均為整數(shù) . 從而可在排除上述分式不是整 數(shù)的 u/v (v|an, u|a0). ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 1 / 1 /ffqqu v u v?? ? ???和 例 1 1) 求 ?(x)=3x4+5x3+x2+5x?2 的全部有理根 . 2) 求 ?(x)=x4?3x3+x2+4 的全部有理根 . 例 2 證明 ?(x)=x3+2x+1在有理數(shù)域上不可約 . 定理 (Eisenst