高等代數(shù)【北大版】(21)(參考版)
2024-10-19 06:35本頁面
【正文】 子空間的直和 12 sV V V? ? ? ?假 若 不 是 直 和 ,則零向量還有一個(gè)分解式 ,120 , 1 , 2 , ,s j jV j s? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ *） 在 (*)式中，設(shè)最后一個(gè)不為 0的向量是 , ( )i is? ?則 (*)式變?yōu)? ,120 i? ? ?? ? ? ?這時(shí)， 1 2 1ii? ? ? ??? ? ? ? ?11 2 11( ) { 0}ii i i i jjV V V V V V????? ? ? ? ? ? ??0,i? ?即 矛 盾 .所以， 是直和 . 12 sV V V? ? ?。 子空間的直和 由于 1 0 0 10 1 0 100 0 1 11 1 1 1????, , , , , , ,1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )n n n n nP L L L? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?線性無關(guān)，即它為 Pn的一組基 . , , ,1 2 1 ,n? ? ? ???12nP V V? ? ?12VV??12d im d im ( 1 ) 1 d im nV V n n P? ? ? ? ? ?又 167。 子空間的直和 練習(xí) 1 設(shè) V1 、 V2分別是齊次線性方程組 ① 與②的 證 ：解齊次線性方程組①，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 121( 1 , 0, , 0, 1 )( 0, 1 , , 0, 1 )( 0, 0, , 1 , 1 )n??? ??????? ① 12 0nx x x? ? ? ?② 12 nx x x? ? ?解空間： 證明 : 12nP V V??167。 子空間的直和 又 12 .nP V V??2）先證 任取 , ( ) ,nP A A? ? ? ? ?? ? ? ?有2( ) 0A A A A A A? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 .AV??? ? ?12 .nP V V? ? ?12 .VV? ??于 是 有 11 .nP V V? ? ?其中 1 ,AV? ?再證 12 .nP V V??又 是 的子空間， 12VV? nP167。 子空間的直和 例 已知 ，設(shè) nnAP ??,12 ,0nnV A X X P V X X P A X? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?2）當(dāng) 時(shí)， 12 .nP V V??2AA?證： 1） 10 0 , 0AV? ? ? ? ?任取 有 1, , ,A A V k P?? ? ? ?11( ) , ( ) ( ) .A A A V k A A k V? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?是 的子空間 . nP1V?證明： 1） 是 的子空間 . 12VV、 nP167。 子空
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