【文章內容簡介】 =((?1(x), g1(x))， ( f2(x), g2(x))) Exercises 第一次： 1(i), 2, 3, 7, 10 第二次： 4， 5， 11， 13 167。 4 不可約 (irreducible) 多項式 ? 唯一因式分解定理 定義 F[x]中一個次數大于零的多項式 p(x)如果在 F[x]中的因式只有 F中的非零數以及p(x)的相伴元 ， 則稱 p(x)是數域 F上的一個不可約多項式 ， 否則叫做可約多項式 . 一次多項式總是不可約多項式 . 一多項式可約當且僅當能分解成兩個次數更低的多項式之積 . 注： 一多項式的可約與否與域 F有關 . 性質 1 如果 p(x)是數域 F上的一個不可約多項式 , 0?c?F, 那么 cp(x)也不可約 . 性質 2 如果 p(x)是數域 F上的一個不可約多項式 , 那么對 F[x]中任意多項式 ?(x), p(x)| ?(x)， 或者 (p(x), f(x))=1. 性質 3 如果 p(x)是數域 F上的一個不可約多項式 , ?(x), g(x)?F[x], 并且 p(x)|?(x)g(x)，則有 p(x)| f(x), 或者 p(x)| g(x). 推廣 如果 p(x)是數域 P上的一個不可約多項式 ， 那么對天 P[x]中任意 m個多項式 ?1(x), ?2(x), … , ?m(x)的積： p(x)| ?1(x)?2(x)… ?m(x)， 則必存在 1?i?m, 使得 p(x)|?i(x). 因式分解唯一定理 F[x]中每一個次數大于零的多項式 ?(x)都能唯一地分解成數域 F上有限個不可約多項式的乘積 , 所謂唯一性是說 , 如果 ?(x)有兩個這樣的分解式 ?(x)=p1(x)p2(x)… pr(x)=q1(x)q2(x)… qt(x) 則一定有 t=r, 并且適當排列因式的次序后有 qi(x)＝ cipi(x)， i=1， 2， … , r 多項式 ?(x) 可分解成 其中 c是 ?(x)的首項系數 , p1(x)， p2(x)， … , pm(x)是不同的首項系數為 1的不可約多項式 ，r1， r2， … ， rm是正數 . 這種分解式 稱為 ?(x)的標準分解式 . )()()()( 21 21 xpxpxcpxf mrmrr ?? 定理 設如下是的標準分解式 則 )()()()( 21 21 xpxpxbpxg mtmtt ??)()()()( 21 21 xpxpxapxf mkmkk ??)()())(),(( },m i n {},m i n {1 11 xpxpxgxf mm tkmtk ??)()()](),([ },m a x {},m a x {1 11 xpxpxgxf mm tkmtk ??例 1 設 f(x)=23(x?1)3(x+1)2(x?2)2(x+5)(x?6)4與 g(x)=12(x?1)2(x+1)4(x?2)(x+3)(x+5)2(x?5)4.求 (f(x), g(x)) 和 [f(x), g(x)]. 例 2 證明 x2?2在有理數域上不可約 . 例 3 ( 第 5題 ) 證明 :數域 F上一個次數大于零的多形式 f(x)是 F[x]中某一個不可約多形式的冪當且僅當對于任意 g(x)?F[x], 或者 (f(x), g(x))=1, 或者存在一個正整數 m使得 f(x)|g(x)m. Exercises 1. (ii)。 2.。 4. (i)。 6. 167。 重因式 上述定義中 ， 如果 k=0, 則 p(x)不是 ?(x) 的因式 ； k=1, 則 p(x) 是 ?(x) 單重因式 . 定義 在 F[x]中 , 不可約 多項式 p(x) 稱為多項式 ?(x)的 k重因式 (k為非負整數 ), 如果pk(x)??(x), 而 pk+1(x)??(x) . [?(x)+g(x)]39。 = ?39。(x)+ g39。(x) [c?(χ)]39。 =c?39。(x)， c?P [?(x)g(x)]39。 =?39。(x)g(x)+?(x)g39。(x) [?(m)(x)]39。 =m?(m?1)(x)?39。(x) 定義 對于 F[x]中的多項式 ?(x)=anxn+an?1xn?1+…+ a1x+a0 我們把 P[x]中的多項式 nanxn?1+(n?1)an?1xn?2+…+ a1 叫做 ?(x)的導數 (或 一階導數 ), 記作 ?39。(x). 定理 在 F[x]中，如果不可約多項式 p(x)是 ?(x)的一個 k(k≥1)重因式，則 p(x)是 ?(x)的導數 ?39。(x)的一個 k?1重因式 . 特別地 ， 多項式 ?(x)的單因式不是 ?(x)導數?39。(x)的因式 . 推論 1 如果不可約多項式 p(x)是 ?(x)的 k(k≥1) 重因式 , 則 p(x) 是 ?(x), ?39。(x), … , ?(k?1)(x)的因式 , 但不是 ?(k)(x) 因式 . 推論 2 不可約多項式 p(x)是 ?(x)的重因式的充分必要條件為 p(x)是 ?(x)與 ??(x)的公因式 . 推論 3(定理 ) 多項式 ?(x)無重因式的充分必要條件為 ?(x)與 ??(x)互素 . 方法 ：判斷一個多項式 ?(x)有沒有重因式 ，只需計算 (?(x)， ?39。(x)). 而求最大公因式有統(tǒng)一的方法 :輾轉相除法 . 設 F[x]中的多項式 ?(x)的標準分解式是 )()()()(2121 xpxpxcpxfmrmrr ??12111126 39。( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 , 2, , .mrrrmif x p x p x p x h xh x p x i m?????由 定 理 得其 中 不 能 被 整 除 ，12 11112 ( ( ) , 39。( ) ) ( ) ( ) ( )mrrr mf x f x p x p x p x????于 是因此用 (?(x), ?39。(x))除 ?39。(x)所得商式是 cp1(x)p2(x)… pm(x) 把它記作 g(x), 我們便得到一個沒有重因式的多項式 g(x), 它與 ?(x)含有完全相同的不可約因式 . 去掉 ?(x)的不可約因式重數的方法 :先用輾轉相除法求出 (?(x)， ?39。(x)), 然后對 ?(x)與(?(x)， ?39。(x))做帶余除法 , 所得商式 g(x)即為所求的沒有重因式的多項式 . 求 ?(x)的不可約因式重數的方法 :上述方法求得 g(x)后 , 用帶余除法可求 g(x)的不可約因式 (也就是 f(x)的不可約因式 )在 f(x)中的重數 . 習題課： 1. 判斷下列多項式是否有重因式： 1) ?(x)＝ x4? x3? 3x2+5x?2。 2) g(x)＝ xn+nxn?1+n(n?1)xn?2 +… +n(n?1)…3 2 x+n!. 2. 證明：一不可約多項式 p(x)是 ?(x)的 k(k≥1) 重因式當且僅當 p(x) 是 ?(x), ?39。(x), …, ? (k?1)(x)的因式 , 但不是 ?(k)(x) 因式 . Exercises 2。 3。 4(ii)。 5. 167。 多項式函數 , 多項式的根 定義 設 R是一個數環(huán) , 并設 ?(x)=anxn+an?1xn?1+… +a1x+a0 是 R[x]中一個多項式 . 取 c?R， 則記 ?(c)=an+an?1?1+… +a1c+ a0 此時 , 我們稱 ?(x)為數環(huán) R上的一個 多項式函數 , ?(c)為函數 ?(x)在 c點的 值 . 特別的 , 如果?(c)=0， 則稱 c是 ?(x)在 R中的一個 根 (或 零點 ). 定理 (余數定理 ) 在 R[x]中 ， 用一次多項式 x?c去除多項式 ?(x), 所得的余式為R中的數 ?(c). 推論 (Bezout定理 ) 設 ?(x)?R[x]， c?R是?(x)在 R中的根的充分必要條件為 x?c|?(x). 綜合除法 設 ?(x)=anxn+an?1xn?1+… +a0， g(x)=x?c， 求g(x)除 ?(x)的商與余式 , 并計算 f(c)． 設 ?(x)=q(x)g(x)+r(x)=q(x)(x?c)+r(x) 則可設 (r(x)=r) q(x)=bn?1xn?1 +bn?2 xn?2+… +b0, r=?(c) 并且 bn?1=an, bn?2=an?1+cbn?1, … , b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=?(c)=a0+cb0 即 bn?1=an, bn?2=an?1+cbn?1, … , b1= a2+cb2, b0= a1+cb1, r=?(c)=a0+cb0 從而可記： c | an an?1 an?2 … a2 a1 a0 + cbn?1 cbn?1 … cb2 cb1 cb0 an=bn?1 bn?2 bn?3 … b1 b0 r=?(c) 例 1 設 ?(x)=2x5?6x3＋ 3x2?2x＋ 5， g(x)=x?2， 求 g(x)除 ?(x)的商與余式 , 并計算 f(2)． 例 2 設 ?(x)=2x5?6x3＋ 3x2?2x＋ 5， h(x)=(x?2)(x+3)， 求 h(x)除 ?(x)的商與余式 ． 利用根與一次因式的關系 , 對于 R[x]中的多項式 在 R中的根 , 我們可以定義重根的 概念 : a?R稱 為 ?(x)?R[x]的一個 k重根 , 如果 (x?a)是?(x)的 k重因式 . 當 k=1時 ， a稱為單根 。 當 k1時 ， a稱為 (k)重根 . 定理 R[x]中的 n次 (n≥0)多項式在 R中至多有 n個根 (重根重數計算 ). 定理 設 R[x]中兩個多項式 ?(x)與 g(x)的次數都不超過 n. 如果 x分別用 R中 n+1個不同元素 a1, a2, … , an+1代入 , 有 ?(ai)=g(ai), i=1, 2, … , n+1, 則 ?(x)=g(x). 插值法 R[x]中兩個次數不超過 n的多項式 ?(x)與 g(x), 如果它們在 R的 n+1個不同元素 a1, … , an+1上有 ?(ai)=g(ai)， i=1, …, n+1 則這兩個多項式相等 . 這說明 : 數域 R上一個次數不超過 n的多項式 ， 被它在 R的 n+1個不同元素上的值所唯一確定 . Lagrange插值公式 設 c0, c1,… , 是數環(huán) R中n+1個不同的元素 , d0, d1,… , dn 是數環(huán) R中 n+1個元素 , 則 R[x]中存在唯一的次數不超過 n的多項式 ?(x), 使得 ?(ci)=di， i=0, 1,… , n 其中 00 1 10 1 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )niii i niii i i i i i nf x f xx c x c x c x cf x dc c c c c c c c??????? ? ? ??? ? ? ?? Newton插值公式 設 c0, c1,… , 是數環(huán) R中n+1個 不同的 元素 , d0, d1,… , dn 是數域 R中 n+1個元素 , 則 R[x]中存在唯一的次數不超過 n的多項式 ?(x), 使得 ?(ci)=di， i=0, 1,… , n 其中 公式中的諸 ui通過把 x逐次用 c0, c1,… , 代入而求得 . 0 1 0 2 0 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )