【正文】 ein判別法 ) 設(shè) ?(x)=anxn+…+ a1x+a0 是一個(gè)次數(shù) n大于零的整系數(shù)多項(xiàng)式 , 如果存在一個(gè)素?cái)?shù) p, 使得 1) p | an。 4. 167。 實(shí)系數(shù)二次多項(xiàng)式 ?(x)=ax2+bx+c 不可約當(dāng)且僅當(dāng)它的判別式 b2?4ac0. 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式唯一因式分解定理 每個(gè)次數(shù)大于零的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與判別式小于零的二次因式的乘積 . 例 1 求多項(xiàng)式 ?(x)=xn?1在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解 . Exercises 1.。 故： ?(x)=x4?9x3+17x2+33x?90， 或者 ?(x)=a(x4?9x3+17x2+33x?90). 三 、 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 定理 如果 c是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 ?(x)的一個(gè)復(fù)根 ， 則 c的共軛復(fù)數(shù) c 也是一個(gè)復(fù)根 。3 a4＝ 533( ?2)( ?2)3=17。3+(?2)3+ 5 a2＝ 5 a3＝ ?(?1?2 ?3+?1?2?4 … +?n?2?n?1?n)。 7 復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 一 、 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 定理 每一個(gè) n(n0)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上有 n個(gè)根 (重根重?cái)?shù)計(jì)算 ). 代數(shù)基本定理 每個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中至少有一個(gè)根 . 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式唯一因式分解定理 每個(gè)次數(shù)大于零的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積 . 從而 : 復(fù)數(shù)域上每個(gè)次數(shù)大于 2的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式均可約 . 二 、 根與系數(shù)的關(guān)系 設(shè) ?(x)=xn+a1xn?1+… +an 在復(fù)數(shù)域上唯一地分解成一次因式的乘積 : ?(x)=(x??1)(x??2) … (x??n) 設(shè) ?(x)=xn+a1xn?1+… +an =(x??1)(x??2) … (x??n) 比較得： a1＝ ?(?1+ ?2+… + ?n)。 4.(ii)。 2.。 當(dāng) k1時(shí) ， a稱為 (k)重根 . 定理 R[x]中的 n次 (n≥0)多項(xiàng)式在 R中至多有 n個(gè)根 (重根重?cái)?shù)計(jì)算 ). 定理 設(shè) R[x]中兩個(gè)多項(xiàng)式 ?(x)與 g(x)的次數(shù)都不超過(guò) n. 如果 x分別用 R中 n+1個(gè)不同元素 a1, a2, … , an+1代入 , 有 ?(ai)=g(ai), i=1, 2, … , n+1, 則 ?(x)=g(x). 插值法 R[x]中兩個(gè)次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式 ?(x)與 g(x), 如果它們?cè)?R的 n+1個(gè)不同元素 a1, … , an+1上有 ?(ai)=g(ai)， i=1, …, n+1 則這兩個(gè)多項(xiàng)式相等 . 這說(shuō)明 : 數(shù)域 R上一個(gè)次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式 ， 被它在 R的 n+1個(gè)不同元素上的值所唯一確定 . Lagrange插值公式 設(shè) c0, c1,… , 是數(shù)環(huán) R中n+1個(gè)不同的元素 , d0, d1,… , dn 是數(shù)環(huán) R中 n+1個(gè)元素 , 則 R[x]中存在唯一的次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式 ?(x), 使得 ?(ci)=di， i=0, 1,… , n 其中 00 1 10 1 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )niii i niii i i i i i nf x f xx c x c x c x cf x dc c c c c c c c??????? ? ? ??? ? ? ?? Newton插值公式 設(shè) c0, c1,… , 是數(shù)環(huán) R中n+1個(gè) 不同的 元素 , d0, d1,… , dn 是數(shù)域 R中 n+1個(gè)元素 , 則 R[x]中存在唯一的次數(shù)不超過(guò) n的多項(xiàng)式 ?(x), 使得 ?(ci)=di， i=0, 1,… , n 其中 公式中的諸 ui通過(guò)把 x逐次用 c0, c1,… , 代入而求得 . 0 1 0 2 0 10 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnf x u u x c u x c x cu x c x c x c ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 例 求一個(gè)次數(shù)不超過(guò) 3的多項(xiàng)式 ?(x)使得： ?(0)=5, ?(1)=7, ?(?1)=9, ?(?2)=13 例 1 考查 2是否為 f (x)=x5?6x4+11x3?2x2?12x+8 的根 . 如是，請(qǐng)問(wèn)是幾重根？ 例 2 證明 : Q[x]中的項(xiàng)式 沒(méi)有重因式（根） . !!21)(2nxxxxf n????? ?例 3 證明 : 一 n(?1)次多項(xiàng)式 f(x)有 n重根的充分必要條件是 f 39。 5. 167。 3。2 x+n!. 2. 證明：一不可約多項(xiàng)式 p(x)是 ?(x)的 k(k≥1) 重因式當(dāng)且僅當(dāng) p(x) 是 ?(x), ?39。(x))做帶余除法 , 所得商式 g(x)即為所求的沒(méi)有重因式的多項(xiàng)式 . 求 ?(x)的不可約因式重?cái)?shù)的方法 :上述方法求得 g(x)后 , 用帶余除法可求 g(x)的不可約因式 (也就是 f(x)的不可約因式 )在 f(x)中的重?cái)?shù) . 習(xí)題課： 1. 判斷下列多項(xiàng)式是否有重因式： 1) ?(x)＝ x4? x3? 3x2+5x?2。(x)所得商式是 cp1(x)p2(x)… pm(x) 把它記作 g(x), 我們便得到一個(gè)沒(méi)有重因式的多項(xiàng)式 g(x), 它與 ?(x)含有完全相同的不可約因式 . 去掉 ?(x)的不可約因式重?cái)?shù)的方法 :先用輾轉(zhuǎn)相除法求出 (?(x)， ?39。( ) ) ( ) ( ) ( )mrrr mf x f x p x p x p x????于 是因此用 (?(x), ?39。(x)). 而求最大公因式有統(tǒng)一的方法 :輾轉(zhuǎn)相除法 . 設(shè) F[x]中的多項(xiàng)式 ?(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式是 )()()()(2121 xpxpxcpxfmrmrr ??12111126 39。(x)的因式 . 推論 1 如果不可約多項(xiàng)式 p(x)是 ?(x)的 k(k≥1) 重因式 , 則 p(x) 是 ?(x), ?39。(x). 定理 在 F[x]中，如果不可約多項(xiàng)式 p(x)是 ?(x)的一個(gè) k(k≥1)重因式，則 p(x)是 ?(x)的導(dǎo)數(shù) ?39。 =m?(m?1)(x)?39。(x)g(x)+?(x)g39。(x)， c?P [?(x)g(x)]39。(x) [c?(χ)]39。 = ?39。 6. 167。 2.。 則稱 d(x)為 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的一個(gè) 最大公因式 . 記 : (?1(x), ?2(x), … , ?n(x))為 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的首項(xiàng)系數(shù)為 1的 最大公因式 . 定義 P[x]中 n(n≥2個(gè) )個(gè)多項(xiàng)式 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x), 如果 (?1(x), ?2(x), … , ?n(x))=1 則稱 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)互素 . 定理 在 P[x]中 ， n個(gè)多項(xiàng)式 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)互素的充分必要條件是有 P[x]中多項(xiàng)式u1(x)， u2(x)， … ， un(x)， 使得 u1(x)?1(x)+ u2(x)?2(x)+… + un(x)?n(x))=1 定義 在 P[x]中 , 稱 m(x)為 ?(x)和 g(x)的最小公倍式 (least mon multiplier, lcm), 如果 1) ?(x)?m(x)， g(x)?m(x)； 2) 如果有 h(x)使得 ?(x)?h(x) 和 g(x)?h(x), 則 m(x)?h(x). 定理 1) 在相伴意義下兩多項(xiàng)式的 lcm唯一 . 2) 設(shè) ?(x), g(x)均為為首一多項(xiàng)式 ， 如記[?(x), g(x)]為首一的 lcm, 則 ))( ),(()()()]( ),([xgxfxgxfxgxf ?習(xí)題課 例 3 在 F[x]中 ， 如果 (?(x), h(x))=1, (g(x), h(x))=1 則 (?(x)g(x)， h(x))=1. 例 1 證明：多項(xiàng)式 xd?1整除 xn?1的充分必要條件為 d |n. 例 2 設(shè) f1(x)=af(x)+bg(x), g1(x)=cf(x)+dg(x), 并且 ad?bc?0. 證明： (f(x), g(x))= (f1(x), g1(x)) 例 4 證明 (?1(x), g1(x), f2(x), g2(x)) =((?1(x), g1(x))， ( f2(x), g2(x))) Exercises 第一次： 1(i), 2, 3, 7, 10 第二次： 4， 5， 11， 13 167。 最大公因式 (greatest mon factor: gcd) 定義 1 設(shè) ?(x)與 g(x) 是 F[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 . F[x]中多項(xiàng)式 d(x)同時(shí)整除 ?(x)和 g(x), 則稱 d(x)為 ?(x)和 g(x)的一個(gè) 公因式 . 定義 2 設(shè) d(x)是 ?(x)和 g(x)的一個(gè)公因式 . 如果 d(x)還滿足如下述性質(zhì) : ?(x)和 g(x)的 任一 公因式都 整除 d(x), 則稱 d(x)是 ?(x)與 g(x)的一個(gè)最大公因式 . 引理 在 P[x]中 ， 如果有等式 ?(x)=h(x)g(x)+r(x) 成立 ， 則 ?(x)與 g(x)的最大公因式也是 g(x)與 r(x)的最大公因式 ， 反之亦然 . 定理 對(duì)于 P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 ?(x)與 g(x), 存在它們的一個(gè)最大公因式d(x), 并且 d(x)可以表達(dá)成 ?(x)與 g(x)的一個(gè)組合 , 即有 P[x]中多項(xiàng)式 u(x)與 v(x), 使得 d(x)=u(x)?(x)+v(x)g(x) 定理 2 的證明給出了求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式的方法，稱它為 輾轉(zhuǎn)相除法 (Euclidean Algorithm). 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式在相伴的意義下是唯一確定的 . 我們約定 ， 用 (?(x)， g(x)) 來(lái)表示首項(xiàng)系數(shù)是 1的那個(gè)最大公因式 . 注意 : 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式不會(huì)因?yàn)閿?shù) 域的選擇而改變 . 例 1 設(shè) ?(x)=x4 ?2x3?4x2 +4x?3, g(x)= 2x3 ?5x2 ?4x+3. 求 (?(x)， g(x))， 并且把它表示成 ?(x)與 g(x)的一個(gè)組合 . 定義 3 設(shè) ?(x), g(x)是 F[x]中的兩個(gè)多項(xiàng)式 . 如果 ( ?(x), g(x))=1, 則稱 ?(x) 與 g(x) 互素(coprime). 定理 F[x]中兩個(gè)多項(xiàng)式 ?(x)與 g(x)互素的充分必要條件是存在 F[x]中的多項(xiàng)式u(x), v(x), 使得 u(x)?(x)+v(x)g(x)=1 性質(zhì) 1 在 F[x]中 , 如果 (?(x), h(x))=1并且 (g(x), h(x))=1, 則 (?(x)g(x), h(x))=1. 性質(zhì) 3 在 F[x]中 , 如果 f(x)|h(x)， g(x)|h(x)， 且 (f(x), g(x))=1 則 ?(x)g(x)|h(x). 性質(zhì) 2 在 F[x]中 , 如果 ?(x)|g(x)h(x), 且 (?(x), g(x))=1 則 ?(x)|h(x). 定義 在 F[x]中 , 如果多項(xiàng)式 c(x)能整除多項(xiàng)式 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的每一個(gè) , 那么 c(x)叫做這 n個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè) 公因式 . 設(shè)