【正文】 1) d(x)是 ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的一個公因式 。 6。 3.。 3. Exercises 1. (ii)。 divisibility 定理 (帶余除法 ) 對于 F[x]中任意兩個多項(xiàng)式 ?(x)與 g(x)， 其中 g(x)≠0， 在 F[x]中存在唯一的一對多項(xiàng)式 h(x)， r(x)， 使得 ?(x)=h(x)g(x)+r(x), ?(r(x))?(g(x)) 式中的 h(x)稱為 g(x)除 ?(x)的 商 (quotient)，r(x)稱為 g(x)除 ?(x)的 余式 (remainder). 以下總設(shè) F是一個數(shù)域 . 定義 5 設(shè) ?(x), g(x)?F[x]， 使得 ?(x)=h(x)g(x) 則稱 g(x)整除 (divide)?(x), 記作 g(x)|?(x). 當(dāng)g(x)整除 ?(x)時 , g(x)稱為 ?(x)的因式 (factor) (或因子 ), ?(x)稱為 g(x)的倍式 (multiplier). 定理 1 設(shè) ?(x), g(x)?F[x], 且 g(x)≠0, 則g(x)|?(x)的充分必要條件是 g(x)除 ?(x)的余式為零 . 注意 : 2. 任意多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式； 3. 任意非零數(shù)整除任意多項(xiàng)式 。 帶余除法 乘法對于加法的分配律： ?(g+h)=?g+f h 和 (g+h)?=gf+hf 定理 設(shè) ?(x)， g(x) ?R[x], 則 (i) ?(??g)≤max{?(f )， ?(g)} (ii) 如果 ??0, g?0, 則 ?g≠０； 并且有 ?(?g)= ?(?)+ ?(g) 由定理 ， 得： 多項(xiàng)式乘積的首項(xiàng)系數(shù)等于因子首項(xiàng)系數(shù)的乘積． 推論 ?(x)g(x) =0 當(dāng)且僅當(dāng) ?(x)和 g(x)中至少有一個是靈多項(xiàng)式 ． 推論 (9186。 7186。 乘法交換律，即 ?g=g?； 6186。 4186。 3186。 運(yùn)算法則 : ??(x)， g(x)?P[x]，有 2186。 一元多項(xiàng)式 (unary polynomials) 一元多項(xiàng)式的概念及其運(yùn)算 (operation) 定義 1 設(shè) R是一個數(shù)環(huán)． R上一個文字 x (x?R) 的一元多項(xiàng)式指的是形式表達(dá)式 an xn + an?1 x n?1+…+a 1 x +a0 (1) 其中 n是任意非負(fù)整數(shù) , 系數(shù) ai (i=0, 1, …, n)屬于 R, x稱為 不定元 ． 系數(shù)全為零的多項(xiàng)式稱為 零多項(xiàng)式 ， 記為 0． 在多項(xiàng)式 (1)中 , aixi 稱為 i次項(xiàng) , ai稱為 i次項(xiàng)的系數(shù) , i=0, 1, … , n. 零次項(xiàng) a0x０ 簡記作 a０ , 也稱為 常數(shù)項(xiàng) ． 用 ?(x)， g(x)， … ， 等來代表一元多項(xiàng)式． 定義 2 數(shù)域 P上的兩上一元多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的同次項(xiàng)的系數(shù)相等 ． 設(shè) ?(x)代表多項(xiàng)式 (1)． 如果 an≠0, 那么 anxn稱為多項(xiàng)式 ?(x)的 首項(xiàng) (最高次項(xiàng) )， an稱 為 首項(xiàng)系數(shù) ， n稱為多項(xiàng)式 ?(x)的 次數(shù) (degree)，記作 ?(?(x)). 零多項(xiàng)式 0的次數(shù)定義為 ?∞ ． 記數(shù)環(huán) R上的所有一元多項(xiàng)式組成的集合作 R[x]． 設(shè) ?(x), g(x)?P[x] ，其中 (不妨設(shè) n≥m) ?(x)＝ anxn+an?1 xn?1+… +a0= g(x)=bmxm+bm?1xm?1+… +b0= (i) ?(x)與 g(x)的 和 是一個多項(xiàng)式 h(x)= 其中 h(x)的 i 次項(xiàng)的系數(shù)為 ci=ai+bi， i=0, 1, … , n 記作 h(x)=?(x)+g(x)． 0niiiax??0mjjjbx??0niiicx??(ii) ?(x)與 g(x)的 乘積 是一個多項(xiàng)式 p(x)= 其中 p(x)的 s次項(xiàng)的系數(shù)為 ds= , s=0, 1, … , n+m 記作 p(x)=?(x)g(x). ???mnsss xd0??? sjiji ba1186。 多元多項(xiàng)式 167。 代數(shù)基本定理 ?復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 167。 重因式 167。 最大公因式 (greatest mon factor: gcd) 167。 帶余除法 : 2. 4. 5. Ch. 2多項(xiàng)式 (Polynomial) 167。 : 3. 7. 8. 10。 4) 如果 a|b 并且 b|c, 則有 a|c. 記 (a, b)為兩個不全為零的整數(shù) a和 b的大于零的最大公因數(shù) . 引理 如果 r 是一正整數(shù)，那么 gcd(r, 0)=r. 定理 若 a=bq+r， 則 gcd(a, b)=gcd(b, r) Euclidean Algorithm 1. 設(shè)整數(shù) a 和 b 滿足： |a||b|?0. 2. 如果 b=0, 那么 gcd(a, b)=a. 如果 b?0, 由 帶余除法存在 q 和 r 使得 a=bq+r |b|r?0 3. 如果 r=0, 那么 gcd(a, b)=b. 如果 r=0, 重復(fù)上述過程并且有 gcd(a, b)=gcd(b, r), |a||b|r?0. 但是 0 到 |a|間僅有有限多整數(shù) . 所以存在 i 使得 : |a||b|r=r1r2…r i=0, 并且 gcd(a, b)=gcd(b, r1)=…=gcd( ri?2, ri?1) = ri?1 定理 若 d=(a, b)，則存在整數(shù) p, q使得 pa+qb=d 例 求 (726, 393), 并求整數(shù) p和 q使得 (726, 393)=726p+393q 定理的推論 整數(shù) a, b互素當(dāng)且僅當(dāng)存在整數(shù) p, q使得 pa+qb=1 定理 若 a|bc, 并且 (a, b)=1， 那么 a|c. 167。 2) 如果 a|b, 則對任意的整數(shù) c, 有 a|bc。 數(shù)論初步 帶余除法 : 設(shè) a, b是整數(shù)， b?0. 則 a可唯一地表為 a=bq+r 其中 q, r為整數(shù)并且 0?r|b|. 若干基本概念 ： 整除、素數(shù)、合數(shù)、因數(shù)、公因數(shù) 、 倍數(shù)、公倍數(shù)、 互素 若干基本概念 整除、因數(shù)、倍數(shù) : 設(shè) a, b是整數(shù) . 如存在整 數(shù) q使 a=bq, 則 稱 b整除 a, 記為 b|a。 (ii) 假設(shè) P(k)為真能推出 P(k+1)也為真； 那么對所有的正整數(shù) n，命題 P(n)為真 . 例 證明 , 所有的整數(shù) n?3時滿足 2n+12n 第二數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個與正整數(shù) n有關(guān)的命題 P(n). 如果 (i) P(1)為真 。 ? 有可能存在 B中的元素不是 A中任一元素 的像； ? A中不相同的元素在 B中有可能有相同的 像 . ? 如果 g 也是從 A到 B的一個映射 , 并且對任 意的 x?A, 都有 f(x)=g(x), 則稱 f = g. 定義 2 設(shè) f 是一個從 A到 B映射 . 如果對任意的 b?B, 都存在一個 a ?A , 使得 f (a)= b 則稱 f 是一個從 A到 B的 滿射 . 定義 4 既是滿射又是單射的映射稱為 雙射 . 定義 3 設(shè) f 是一個從 A到 B映射 . 對任意的 a1, a2?A , 如果 a1?a2, 就一定有 f (a1) ? f (a2) 則稱 f 是一個從 A到 B的 單射 . 映射的 合成運(yùn)算 : 合成運(yùn)算滿足 結(jié)合律 : 合成函數(shù)的 例子 ： 定理 設(shè) f 是一個從 A到 B映射 . 那么以下條件等價： (i) f 是一個雙射； (ii) 存在 B到 A映射 g, 使得 g?f=jA , f?g=jB 并且，當(dāng) (ii)成立時，映射 g 由 f 唯一確定 . 定義 : 上述定理中 由 f 唯一確定 的 映射 g稱為 f 的逆映射，記為 f ?1. 并且 f ?1?f=jA , f? f ?1=jB 例 10 設(shè) A是所有非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 . 而集合 B={x?R | 0?x?1}. 定義 A 到 B 的一個對應(yīng)法則 f 如下： 驗(yàn)證 : (i) f 是一個 A 到 B 的雙射； (ii) 求 f ?1. 1:?xxxf ?代數(shù)運(yùn)算： 設(shè) A 是一個集合 . 稱一個從 A?A到 A映射為A上的一個 代數(shù)運(yùn)算 . 167。 集合 Ch. 1 基本概念 ? 集合的概念 集合的表示 ? 元素的概念 ? 常用記號 常用集合 ? 有限集合 無限集合 ? 子集 交集 并集 空集 補(bǔ)集 差集 ? 笛卡爾集 ? 集合的運(yùn)算 167。 數(shù)論初步 167。 映射 167。高等代數(shù) (Higher Algebra) 張禾瑞 郝鈵新 高教出版社（第五版） 課件制作 深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院：王曉峰 基本概念 多項(xiàng)式 行列式 線性方程組 矩陣 線性空間 線性變換 歐幾里得空間 二次型 Ch. 1 一般性介紹 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，解析幾何 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) : 數(shù)理邏輯 公理集合論 , 證明論 , 模型論 , 遞歸論 數(shù)學(xué)分析 實(shí)變函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)論，多復(fù)變 函數(shù)論，測度論，泛函分析，變分 法，函數(shù)逼近論，非標(biāo)準(zhǔn)分析，小 波分析，分形幾何，常微分方程， 偏微分方程， 積分方程， 動力系 統(tǒng) , 特殊函數(shù)，數(shù)值分析 , 計(jì)算方 法 , ….. 高等代數(shù) 數(shù)論 , 近世代數(shù)，線性代數(shù) , 群論 , 域 論與伽羅瓦理論 , 環(huán)與代數(shù) , 模論 , 范 疇論代數(shù) K理論 , 同調(diào)代數(shù) , 李代數(shù) , 序 與格 , 離散數(shù)學(xué) , 計(jì)算機(jī)科學(xué) , 矩陣論 , 密碼學(xué) , …… 解析幾何 高等幾何 , 代數(shù)幾何 , 微分幾何 , 凸 集幾何與距離幾何 , 一般拓?fù)鋵W(xué) , 代 數(shù)拓?fù)鋵W(xué) , 流形拓?fù)鋵W(xué) , 分形幾何 , 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì) , 計(jì)算機(jī)圖形 學(xué) , …… 概率論 數(shù)理統(tǒng)計(jì) , 隨機(jī)過程 , 統(tǒng)計(jì)學(xué) , 經(jīng)濟(jì) 數(shù)學(xué) , …… 其它 生物數(shù)學(xué) , 模糊數(shù)學(xué) , 運(yùn)籌學(xué) , 控制 理論 , 通信與信息理論 , 優(yōu)化理論 , 計(jì)算數(shù)學(xué) , .…. 計(jì)算機(jī)有關(guān)的課程 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) , 計(jì)算機(jī)原理 , C++語言 , Java語言 , 離散數(shù)學(xué) , 數(shù)據(jù)庫原理 , 操作系統(tǒng) , 程序設(shè)計(jì)方法，計(jì)算機(jī) 網(wǎng)絡(luò)，信息系統(tǒng) , 匯編語言 , 邏輯 電路 , 軟件工程 , 最新軟件分析 , 通 信與信息理論 , 算法分析 , .…. 高等代數(shù) — 目的及要求 1. 為什么要學(xué)高等代數(shù)？ 3. 作業(yè)要求： (1) 書面作業(yè)： A4大小的活頁紙； (2) 上網(wǎng)作業(yè)：可自己檢查 , 幫助理解； (3) 平時測驗(yàn) : 4. 如何評定成績？ ： 《 線性代數(shù)及應(yīng)用 》 –王曉峰主編 《