高等代數(shù)【北大版】(5)-展示頁(yè)
2024-10-25 06:44本頁(yè)面
【正文】 a a b b b????當(dāng) 時(shí)， 1）即為幾何空間 中內(nèi)積在直角 3n? 3R?坐標(biāo)系下的表達(dá)式 . 即 ( , ) .? ? ? ???這樣 對(duì)于內(nèi)積 就成為一個(gè)歐氏空間 . nR ( , )??易證 滿足定義中的性質(zhì) ～ . ( , )?? 141）定義 1 1 2 2( , ) nna b a b a b?? ? ? ? ?（ 1） 所以 , 為內(nèi)積 . ( , )??167。 ② V除向量的線性運(yùn)算外，還有“內(nèi)積”運(yùn)算 。 定義與基本性質(zhì) 滿足性質(zhì)： , , ,V k R? ? ?? ? ? ?1 ( , ) ( , )? ? ? ??2 ( , ) ( , )kk? ? ? ??? ?3 ( , ) , ( , )? ? ? ? ? ? ?? ? ?4 ( , ) 0 ,?? ?當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 0? ? ( , ) 0 .?? ?一、 歐氏空間的定義 1. 定義 設(shè) V是實(shí)數(shù)域 R上的線性空間，對(duì) V中任意兩個(gè)向量 、 定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，記作 ，若 ,?? ( , )?? ( , )??（對(duì)稱(chēng)性） （數(shù)乘） （可加性） （正定性） 167。 定義與基本性質(zhì) 二、歐氏空間中向量的長(zhǎng)度 三、歐氏空間中向量的夾角 四、 n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示 五、歐氏子空間 167。 5 子空間 167。 8酉空間介紹 167。 1 定義與基本性質(zhì) 167。 3 同構(gòu) 167。167。 2 標(biāo)準(zhǔn)正交基 167。 4 正交變換 167。 6 對(duì)稱(chēng)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形 167。 7 向量到子空間的 距離 ─最小二乘法 小結(jié)與習(xí)題 第九章 歐氏空間 167。 定義與基本性質(zhì) 一、 歐氏空間的定義 167。 定義與基本性質(zhì) 問(wèn)題的引入： 性質(zhì) (如長(zhǎng)度、夾角 )等在一般線性空間中沒(méi)有涉及 . 其具體模型為幾何空間 、 23,RR 線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算， 但幾何空間的度量 ? ? ???長(zhǎng)度： 都可以通過(guò)內(nèi)積反映出來(lái)： , c o s , ??? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?夾角 ： 在解析幾何中，向量的長(zhǎng)度，夾角等度量性質(zhì) 幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì) . 167。 定義與基本性質(zhì) ① V為實(shí)數(shù)域 R上的線性空間 。 ( , ) .R?? ?③ 歐氏空間 V是特殊的線性空間 則稱(chēng) 為 和 的 內(nèi)積 ，并稱(chēng)這種定義了內(nèi)積的 ( , )? ? ? ?實(shí)數(shù)域 R上的線性空間 V為 歐氏空間 . 注 ： 167。 定義與基本性質(zhì) 2）定義 1 1 2 2( , ) 2 k k n na b a b k a b n a b?? ? ? ? ? ? ? ?從而 對(duì)于內(nèi)積 也構(gòu)成一個(gè)歐氏空間 . nR ( , )???由于對(duì) 未必有 ,V??? ? ? ( , ) ( , )? ? ? ? ??注意： 所以 1）， 2）是兩種不同的內(nèi)積 . 從而 對(duì)
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