【正文】 高等代數(shù) 》 (北大 ) – 高教出版社 2. 要學(xué)那些內(nèi)容？ 167。 集合 Ch. 1 基本概念 167。 數(shù)學(xué)歸納法 167。 整數(shù)和整環(huán) 167。 映射 定義 1 設(shè) A和 B是兩個(gè)非空集合 , 從 A到 B的一個(gè)映射是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 A中每一個(gè)元素 x, 都有 A中一個(gè)確定的元素 y與之對(duì)應(yīng) , 并記為 : f (x)= y 或 f : x ? y 并稱 y為 x在映射 f下的 象 , 而 x為 y在映射 f下的一個(gè) 原象 . 例 1 取整數(shù)集合 Z, 定義 Z 到 Z 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 Z 中每一個(gè)元素 n, 對(duì)應(yīng) 2n, 即 : f (n)= 2n 或 f : n ? 2n 驗(yàn)證 f 是一個(gè) Z 到 Z 的映射 . 例 2 取全體實(shí)數(shù)集合 R和全體非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 B, 定義 R到 B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 R中每一個(gè)元素 x, 對(duì)應(yīng) x2, 即 : f (x)= x2 驗(yàn)證 f 是一個(gè) Z 到 Z 的映射 . 例 3 取自然數(shù)集合 N和集合 B={奇 , 偶 }, 定義 N 到 B 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 N 中每一個(gè)元素 n, 如果存在整數(shù) k,使得 n=2k+1, 則令 f (n)= 奇 , 否則 f (n)= 偶 . 驗(yàn)證 f 是一個(gè) N 到 B 的映射 . 例 4 取全體非負(fù)實(shí)數(shù)的集合 A, 定義 A到全體實(shí)數(shù)集合 R的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 A中每一個(gè)元素 x, 對(duì)應(yīng) y, 滿足 : y2=x. 問(wèn)： f 是一個(gè) A 到 R 的映射嗎？ 例 5 取自然數(shù)集合 N, 定義 N 到 N 的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 N 中每一個(gè)元素 n, 對(duì)應(yīng)于n?1. 問(wèn) ： f 是一個(gè) N 到 N 的映射嗎？ 例 6 取任意非空集合 A, 定義 A到 A的 一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f, 使得 A中每一個(gè)元素 x, 對(duì)應(yīng) x自己 , 即 : f (x)= x 顯然： f 是一個(gè) A 到 A 的映射 —恒等映射 . 注意 :如果 f 是從 A到 B的一個(gè)映射 ? 則 A中任一元在 B中有且僅有唯一的元素 與之對(duì)應(yīng) 。 數(shù)學(xué)歸納法 最小數(shù)原理 正整數(shù)集合 N*的任意非空子集必有一個(gè)最小數(shù) . 數(shù)學(xué)歸納法原理 設(shè)有一個(gè)與正整數(shù) n有關(guān)的命題 P(n). 如果 (i) P(1)為真 (即 :當(dāng) n=1時(shí)命題成立 )。 (ii) 假設(shè)對(duì)任意正整數(shù) hk, P(h)為真能推 出 P(k)也為真； 那么對(duì)所有的正整數(shù) n，命題 P(n)為真 . 例 證明 , 所有的大于 1的正整數(shù) n均能分解 成素?cái)?shù)之積 . 167。 并稱 b 是 a的 因數(shù) ， a是 b的 倍數(shù) . 素?cái)?shù)、合數(shù) : 大于 1的正整數(shù)除 1和自己外沒(méi) 有其它因數(shù)稱為 素?cái)?shù) ，否則稱為 合數(shù) . 公因數(shù)、公倍數(shù) : 互素 : 如果 1是兩個(gè)整數(shù) a, b僅有的大于零的 公因數(shù)，則稱整數(shù) a與 b互素 . 最大公因數(shù) (greatest mon divisor) gcd. 最小公倍數(shù) (least mon mutiple) lcm. 性質(zhì)： 設(shè) a, b均為整數(shù) . 1) 如果 a|b 并且 b|a, 則有 a=?b。 3) 如果 a|b 并且 a|c, 則有 a|(b+c)。 數(shù)環(huán)和數(shù)域 定義 1 設(shè) S是一個(gè)全體復(fù)數(shù)集合 C的一個(gè)非空子集 . 如果對(duì)于任意的 a, b?C, 都有 a+b, a?b, ab?C 則稱 C為一個(gè)數(shù)環(huán) . 數(shù)環(huán)的例子 ： 定義 2 設(shè) F是一個(gè)數(shù)環(huán) . 如果 (i) F含有至少一個(gè)非零元； (ii) 對(duì)于 F中任意的非零元 a, 均存在 b?F, 使得 ab =1. 則稱 F為一個(gè)數(shù)域 . 數(shù)域的例子 ： 定理 任何數(shù)域均包含了有理數(shù)域 . Exercises : 3. 4. 6.(i),(iii)。 : 1. 2。 一元多項(xiàng)式 (unary polynomial) 167。 整除 (Division with remainder) 167。 不可約 (irreducible) 多項(xiàng)式 ? 唯一因式分解定理 167。 多項(xiàng)式函數(shù) 167。 有理系數(shù)多項(xiàng)式 167。 對(duì)稱多項(xiàng)式 補(bǔ)充一：三、四次方程的公式解 補(bǔ)充二：插值法 * ** Ch. 3. 多項(xiàng)式 (Polynomials) 167。 加法交換律 ，即 ?+g=g+?。 加法結(jié)合律，即 (?+g)+h=?+(g+h)。 零多項(xiàng)式具有性質(zhì) : 0+?=?+0=?。 設(shè) ?(x)=Σaixi， 定義 ??(x)=Σ(?ai)xi， 則 ?+(??) =(??)+?=0, 稱 ??是 ?的負(fù)元素； 5186。 乘法結(jié)合律，即 (?g)h=?(gh)。 零次多項(xiàng)式 1具有性質(zhì)： 1?=?1=?； 8186。 乘法消去律 ) 如果 ?(x)g(x) =?(x)h(x), 且 ?(x)≠0, 則 g(x)=h(x)． 定義 設(shè) R是一個(gè)數(shù)環(huán)，稱 R上所有一元多項(xiàng)式的全體 R[x]關(guān)于如上定義的多項(xiàng)式加法和乘法構(gòu)成的環(huán)為 R上一元多項(xiàng)式環(huán) . 167。 整除性質(zhì)初步 Division with remainder 1. 如果零多項(xiàng)式 0整除多項(xiàng)式 ?(x)， 則 ?(x)=0； 4. 任意兩個(gè)多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因?yàn)橄禂?shù)域的擴(kuò)大而改變 . 整除性的基本性質(zhì) : 2) 如果 h(x)|f(x), 且 h(x)|g(x), 則 h(x)|(f(x)? g(x)). 4) 如果 ?(x)|gi(x), i=1, 2, …, r, 則對(duì)于任意 ui(x) ?F[x], i=1, …, r, 有 ?(x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ ur(x)gr(x)) 1) 如果 ?(x)|g(x), 且 g(x)|h(x), 則 f (x)|h(x) (整 除的傳遞性 ). 3) 如果 h(x)|f(x), 則對(duì) F[x]中的任意 g(x)有 h(x)|f(x)g(x). 整除性的基本性質(zhì) : 6) 每一多項(xiàng)式 ?(x)能被 cf(x)整除 , c為 F中任意 非零數(shù) . 5) F中任意非零數(shù) c整除任意多項(xiàng)式 . 7) 如果 ?(x)|g(x)， 且 g(x)|?(x)， 則 ?(x)=cg(x)， 其中 c?F, c≠0. 注意 : 多項(xiàng)式之間的整除性不會(huì)因?yàn)閿?shù)域的 選擇而 改變 . Exercises 1.。 2.。 4.。 7. 167。 2) ?1(x), ?2(x), … , ?n(x)的每一個(gè)公因式都 能整除 d(x)。 4 不可約 (irreducible) 多項(xiàng)式 ? 唯一因式分解定理 定義 F[x]中一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式 p(x)如果在 F[x]中的因式只有 F中的非零數(shù)以及p(x)的相伴元 ， 則稱 p(x)是數(shù)域 F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式 ， 否則叫做可約多項(xiàng)式 . 一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式 . 一多項(xiàng)式可約當(dāng)且僅當(dāng)能分解成兩個(gè)次數(shù)更低的多項(xiàng)式之積 . 注： 一多項(xiàng)式的可約與否與域 F有關(guān) . 性質(zhì) 1 如果 p(x)是數(shù)域 F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式 , 0?c?F, 那么 cp(x)也不可約 . 性質(zhì) 2 如果 p(x)是數(shù)域 F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式 , 那么對(duì) F[x]中任意多項(xiàng)式 ?(x), p(x)| ?(x)， 或者 (p(x), f(x))=1. 性質(zhì) 3 如果 p(x)是數(shù)域 F上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式 , ?(x), g(x)?F[x], 并且 p(x)|?(x)g(x)，則有 p(x)| f(x), 或者 p(x)| g(x). 推廣 如果 p(x)是數(shù)域 P上的一個(gè)不可約多項(xiàng)式 ， 那么對(duì)天 P[x]中任意 m個(gè)多項(xiàng)式 ?1(x), ?2(x), … , ?m(x)的積： p(x)| ?1(x)?2(x)… ?m(x)， 則必存在 1?i?m, 使得 p(x)|?i(x). 因式分解唯一定理 F[x]中每一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式 ?(x)都能唯一地分解成數(shù)域 F上有限個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積 , 所謂唯一性是說(shuō) , 如果 ?(x)有兩個(gè)這樣的分解式 ?(x)=p1(x)p2(x)… pr(x)=q1(x)q2(x)… qt(x) 則一定有 t=r, 并且適當(dāng)排列因式的次序后有 qi(x)＝ cipi(x)， i=1， 2， … , r 多項(xiàng)式 ?(x) 可分解成 其中 c是 ?(x)的首項(xiàng)系數(shù) , p1(x)， p2(x)， … , pm(x)是不同的首項(xiàng)系數(shù)為 1的不可約多項(xiàng)式 ，r1， r2， … ， rm是正數(shù) . 這種分解式 稱為 ?(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式 . )()()()( 21 21 xpxpxcpxf mrmrr ?? 定理 設(shè)如下是的標(biāo)準(zhǔn)分解式 則 )()()()( 21 21 xpxpxbpxg mtmtt ??)()()()( 21 21 xpxpxapxf mkmkk ??)()())(),(( },m i n {},m i n {1 11 xpxpxgxf mm tkmtk ??)()()](),([ },m a x {},m a x {1 11 xpxpxgxf mm tkmtk ??例 1 設(shè) f(x)=23(x?1)3(x+1)2(x?2)2(x+5)(x?6)4與 g(x)=12(x?1)2(x+1)4(x?2)(x+3)(x+5)2(x?5)4.求 (f(x), g(x)) 和 [f(x), g(x)]. 例 2 證明 x2?2在有理數(shù)域上不可約 . 例 3 ( 第 5題 ) 證明 :數(shù)域 F上一個(gè)次數(shù)大于零的多形式 f(x)是 F[x]中某一個(gè)不可約多形式的冪當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意 g(x)?F[x], 或者 (f(x), g(x))=1, 或者存在一個(gè)正整數(shù) m使得 f(x)|g(x)m. Exercises 1. (ii)。 4. (i)。 重因式 上述定義中 ， 如果 k=0, 則 p(x)不是 ?(x) 的因式 ； k=1, 則 p(x) 是 ?(x) 單重因式 . 定義 在 F[x]中 , 不可約 多項(xiàng)式 p(x) 稱為多項(xiàng)式 ?(x)的 k重因式 (k為非負(fù)整數(shù) ), 如果pk(x)??(x), 而 pk+1(x)??(x) . [?(x)+g(x)]39。(x)+ g39。 =c?39。 =?39。(x) [?(m)(x)]39。(x) 定義 對(duì)于 F[x]中的多項(xiàng)式 ?(x)=anxn+an?1xn?1+…+ a1x+a0 我們把 P[x]中的多項(xiàng)式 nanxn?1+(n?1)an?1xn?2+…+ a1 叫做 ?(x)的導(dǎo)數(shù) (或 一階導(dǎo)數(shù) ), 記作 ?39。(x)的一個(gè) k?1重因式 . 特別地 ， 多項(xiàng)式 ?(x)的單因式不是 ?(x)導(dǎo)數(shù)?39。(x), … , ?(k?1)(x)的因式 , 但不是 ?(k)(x) 因式 . 推論 2 不可約多項(xiàng)式 p(x)是 ?(x)的重因式的充分必要條件為 p(x)是 ?(x)與 ??(x)的公因式 . 推論 3(定理 ) 多項(xiàng)式 ?(x)無(wú)重因式的充分必要條件為 ?(x)與 ??(x)互素 . 方法 ：判斷一個(gè)多項(xiàng)式 ?(x)有沒(méi)有重因式 ，只需計(jì)算 (?(x)， ?39。( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 , 2, , .mrrrmif x p x p x p x h xh x p x i m?????由 定 理 得其 中 不 能 被 整 除 ，12