【正文】 9．某中學八年級（ 1）班數(shù)學課外興趣小組在探究： “n 邊形共有多少條對角線 ”這一問題時，設計了如下表格： 多邊形的邊數(shù) 4 5 6 7 8 … 從多邊形一個頂點出發(fā)可引起的對角線條數(shù) … 多邊形對角線的總條數(shù) … （ 1）探究：假若你是該小組的成員，請把你研究的結果填入上表； （ 2）猜想：隨著邊數(shù)的增加，多邊形對角線的條數(shù)會越來越多，從 n 邊形的一個頂點出發(fā)可引的對角線條數(shù)為 ， n 邊形對角線的總條數(shù)為 ． （ 3）應用： 10 個人聚會，每不相鄰的人都握一次手，共握多少次手？ 20．如圖，把長方形 ABCD 沿對角線 BD 折疊，重合部分為 △ EBD． （ 1）求證： △ EBD 為等腰三角形． （ 2）圖中有哪些全等三角形？ （ 3）若 AB=6， BC=8，求 △ DC′E 的周長． 21．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。 ∠ B=90176。 ∠ ABD＜ 90176。 ∠ C=120176。 【考點】 多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】 根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理與多邊形外角的關系即可得出結論． 第 30 頁（共 46 頁） 【解答】 解： ∵ 四邊形的內(nèi)角和等于 a， ∴ a=（ 4﹣ 2） ?180176。． ∵ 五邊形的外角和等于 b， ∴ b=360176。則 ∠ BDC=（ ） A． 50176。 C． 120176。 【考點】 線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到 DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 ∠DCA=∠ A，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算即可． 【解答】 解： ∵ DE 是線段 AC 的垂直平分線， ∴ DA=DC， ∴∠ DCA=∠ A=50176。 故選： B． 7．輪船從 B 處以每小時 50 海里的速度沿南偏東 30176。方向上，輪船航行半小時到達 C 處，在 C 處觀測燈塔 A 位于北偏東 60176。再求出 ∠ CBA=45176。 ∵∠ ACD=60176。+60176。 ∴∠ CBA=75176。=45176。 ∠ 2=50176。． 【考點】 平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)． 【分析】 本題主要利用兩直線平行，同位角相等和三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和進行做題． 【解答】 解： ∵ 直尺的兩邊平行， ∴∠ 2=∠ 4=50176。 ∴∠ 3=∠ 4﹣ ∠ 1=20176。 ∠ A=15176。根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可． 【解答】 解：連接 BH， 由折疊的性質(zhì)可知， HB=HA=6， ∴∠ HAB=∠ HBA=15176。 ∴ BC= BH=3， 故答案為： 3． 13．如圖，在 △ ABC 中， AB＞ AC，按以下步驟作圖：分別以點 B 和點 C 為圓心，大于 BC 一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點 M 和點 N，作直線 MN 交 AB 于點 D；連結 CD．若 AB=6， AC=4，則 △ ACD 的周長為 10 ． 第 36 頁（共 46 頁） 【考點】 作圖 —基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)題意可知直線 MN 是線段 BC 的垂直平分線，推出 DC=DB，可以證明 △ ADC 的周長 =AC+AB，由此即可解決問題． 【解答】 解：由題意直線 MN 是線段 BC 的垂直平分線， ∵ 點 D 在直線 MN 上， ∴ DC=DB， ∴△ ADC 的周長 =AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB， ∵ AB=6， AC=4， ∴△ ACD 的周長為 10． 故答案為 10． 14．如圖，在四邊形 ABCD 中， ∠ A=90176。又 ∠ A=90176。 AC=12cm， BC=6cm，一條線段 PQ=AB， P，Q 兩點分別在線段 AC 和 AC 的垂線 AX 上移動，則當 AP= 6cm 或 12cm 時，才能使 △ ABC 和 △ APQ 全等． 【考點】 勾股定理；全等三角形的判定． 【分析】 本題要分情況討論： ① Rt△ APQ≌ Rt△ CBA，此時 AP=BC=5cm，可據(jù)此求出 P 點的位置； ② Rt△ QAP≌ Rt△ BCA，此時 AP=AC， P、 C 重合． 【解答】 解： ∵ PQ=AB， ∴ 根據(jù)三角形全等的判定方法 HL 可知， ① 當 P 運動到 AP=BC 時， △ ABC≌△ QPA，即 AP=BC=6cm； ② 當 P 運動到與 C 點重合時， △ QAP≌△ BCA，即 AP=AC=12cm； 故答案為： 6cm 或 12cm． 三、解答題（本題 8 小題，） 16．在數(shù)學實踐課上，老師在黑板上畫出如圖的圖形，（其中點 B， F， C， E 在同一條直線上）．并寫出四個條件： ① AB=DE， ②∠ 1=∠ 2． ③ BF=EC， ④∠ B=∠ E，交流中老師讓同學們從這四個條件中選出三個作為題設，另一個作為結論，組成一個真命題． ① 請你寫出所有的真命題； ② 選一個給予證明．你選擇的題設： ①③④ ；結論： ② ．（均填寫序號） 第 38 頁（共 46 頁） 【考點】 全等三角形的判定與性質(zhì)；命題與定理． 【分析】 ① 有三種情況是真命題：情況一：由 AAS 證明 △ ABC≌△ DEF，得出對應邊相等 BC=EF，即可得出 BF=EC； 情況二：先證 BC=EF，由 SAS 證明 △ ABC≌△ DEF，即可得出 ∠ 1=∠ 2； 情況三：先證出 BC=EF，再由 ASA 證明 △ ABC≌△ DEF，即可得出 AB=DE； ② 先證 BC=EF，由 SAS 證明 △ ABC≌△ DEF，即可得出 ∠ 1=∠ 2． 【解答】 解： ① 情況一：題設： ①②④ ；結論： ③ ； 情況二：題設 ①③④ ；結論： ② ； 情況三：題設 ②③④ ；結論： ① ． ② 選擇的題設： ①③④ ；結論： ② ； 理由：： ∵ BF=EC， ∴ BF+CF=EC+CF，即 BC=EF， 在 △ ABC 和 △ DEF 中， ， ∴△ ABC≌△ DEF（ SAS）， ∴∠ 1=∠ 2； 故答案為： ①③④ ； ② ． 17．如圖，兩車從路段 AB 的兩端同時出發(fā)，沿平行路線以相同的速度行駛，相同時間后分別到達 C， D 兩地， CE⊥ AB， DF⊥ AB， C， D 兩地到路段 AB 的距離相等嗎？為什么？ 第 39 頁（共 46 頁） 【考點】 全等三角形的應用． 【分析】 根據(jù)題意可得 ∠ AEC=∠ BFD=90176。 ∵ AC∥ BD， ∴∠ A=∠ B， 在 △ AEC 和 △ BFD 中 ， ∴△ AEC≌△ BFD（ AAS）， ∴ CE=DF， ∴ C， D 兩地到路段 AB 的距離相等． 18．如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是 1 的正方形）中完成下列各題：（用直尺畫圖） （ 1）畫出格點 △ ABC（頂點均在格點上）關于直線 DE 對稱的 △ A1B1C1； （ 2）在 DE 上畫出點 P，使 PB1+PC 最??； （ 3）在 DE 上畫出點 Q，使 QA+QC 最?。? 【考點】 軸對稱 最短路線問題． 【分析】 （ 1）從三角形各頂點向 DE 引垂線并延長相同的長度，找到對應點，順次連接； （ 2）根據(jù)兩點之間線段最短，連接 B1C 即可； 第 40 頁（共 46 頁） （ 3）利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點 A 關于直線 DE 的對稱點 A′，連接 A′C，交直線 DE 于點 Q，點 Q 即為所求． 【解答】 解：如圖所示： （ 1） △ A1B1C1 即為所求． （ 2）連接 B1C 與直線 DE 的交點 P 即為所求． （ 3）作點 A 關于直線 DE 的對稱點 A′，連接 A′C，交直線 DE 于點 Q，點 Q 即為所求． 19．某中學八年級（ 1）班數(shù)學課外興趣小組在探究： “n 邊形共有多少條對角線 ”這一問題時，設計了如下表格： 多邊形的邊數(shù) 4 5 6 7 8 … 從多邊形一個頂點出發(fā)可引起的對角線條數(shù) 1 2 3 4 5 … 多邊形對角線的總條數(shù) 2 5 9 14 20 … （ 1）探究：假若你是該小組的成員，請把你研究的結果填入上表； （ 2）猜想：隨著邊數(shù)的增加，多邊形對角線的條數(shù)會越來越多，從 n 邊形的一個頂點出發(fā)可引的對角線條數(shù)為 （ n﹣ 3）） ， n 邊形對角線的總條數(shù)為 （ n≥ 3） ． （ 3）應用： 10 個人聚會，每不相鄰的人都握一次手，共握多少次手？ 【考點】 多邊形的對角線． 【分析】 （ 1）根據(jù)多邊形的性質(zhì)，可得答案； （ 2）根據(jù)多邊形的對角線，可得答案； 第 41 頁（共 46 頁） （ 3）根據(jù)多邊形的對角線，可得答案． 【解答】 解： 多邊形的邊數(shù) 4 5 6 7 8 … 從多邊形一個頂點出發(fā)可引起的對角線條數(shù) 1 2 3 4 5 … 多邊形對角線的總條數(shù) 2 5 9 14 20 … （ 1）探究：假若你是該小組的成員，請把你研究的結果填入上表； （ 2）猜想：隨著邊數(shù)的增加，多邊形對角線的條數(shù)會越來越多，從 n 邊形的一個頂點出發(fā)可引的對角線條數(shù)為 （ n﹣ 3））， n 邊形對角線的總條數(shù)為 （ n≥ 3）． （ 3） = =35 次， 20．如圖，把長方形 ABCD 沿對角線 BD 折疊，重合部分為 △ EBD． （ 1）求證： △ EBD 為等腰三角形． （ 2）圖中有哪些全等三角形？ （ 3）若 AB=6， BC=8，求 △ DC′E 的周長． 【考點】 翻折變換（折疊問題）． 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 ∠ BAE=∠ DCE， AB=CD，再由對頂角相等可得∠ AEB=∠ CED，推出 △ AEB≌△ CED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結論； （ 2）根據(jù)全等三角形的判定解答即可； （ 3）根據(jù)三角形周長即可得到結論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 為矩形， ∴∠ BAE=∠ DCE， AB=CD， 在 △ AEB 和 △ CED 中， 第 42 頁（共 46 頁） ， ∴△ AEB≌△ CED（ AAS）， ∴ BE=DE， ∴△ EBD 為等腰三角形． （ 2）全等三角形有： △ EAB≌△ EC39。DB； △ ABD≌△ C39。D+C39。 BE 是中線，延長 BC 到 D，使 CD=CE，連接 DE，若 △ ABC 的周長是 24， BE=a，則 △ BDE 的周長是多少？ 【考點】 等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=60176。根據(jù) CD=CE，可得 ∠ D=∠ CED，根據(jù) ∠ ACB=60176。 ∴△ ABC 是等邊三角形， ∵△ ABC 的周長是 24， ∴ AB=AC=BC=8， ∵ BE 是中線， ∴ CE= AC=4， ∠ EBC= ∠ ABC=30176。 ∴∠ D=30176。 ∠ B=90176。 ∠ ABD＜ 90176。 ∠ C=120176。 ∠ ACD+∠ FCD=180176。 ∠ ACD+∠ FCD=180176。 ∠ B=∠ EDB=60176。 ∴∠ BAD+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC， 即 ∠ CAD=∠ EAB， 在 △ CAD 和 △ EAB 中， ， ∴△ CAD≌△ EAB（ SAS）， ∴ CD=BE； ② 線段 BE 長的最大值為 4． 理由： ∵ 線段 BE 長的最大值 =線段 CD 長的最大值， ∴ 當線段 CD 的長取得最大值時，點 D 在 CB 的延長線上， 第 46 頁（共 46 頁） 此時 CD=3+1=4， ∴ BE=4．