【正文】 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定． 【分析】 根據(jù)題意，易得 ∠ AEB=∠ AEC，又 AE 公共，所以根據(jù)全等三角形的判定方法容易尋找添加條件． 【解答】 解： ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ AEB=∠ AEC， 又 AE 公共， ∴ 當(dāng) ∠ B=∠ C 時(shí)， △ ABE≌△ ACE（ AAS）； 或 BE=CE 時(shí)， △ ABE≌△ ACE（ SAS）； 或 ∠ BAE=∠ CAE 時(shí)， △ ABE≌△ ACE（ ASA）． 【點(diǎn)評】 此題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL． 第 27 頁（共 35 頁） 注意： AAA、 SSA 不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角． 15．若關(guān)于 x 的分式方程 有增根，則 m 的值為 2 ． 【考點(diǎn)】 分式方程的增根． 【分析】 增根是 化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母（ x﹣ 2） =0，得到 x=2，然后代入化為整式方程的方程算出 m 的值． 【解答】 解：方程兩邊都乘（ x﹣ 2）， 得 x﹣ 2（ x﹣ 2） =m ∵ 原方程有增根， ∴ 最簡公分母（ x﹣ 2） =0， 解得 x=2， 當(dāng) x=2 時(shí)， m=2． 故答案為 2． 【點(diǎn)評】 本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行： ① 讓最簡公分母為 0 確定增根； ② 化分式方程為整式方程； ③ 把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值． 16．如圖， △ ABC 的周長為 18，且 AB=AC， AD⊥ BC 于 D， △ ACD 的周長為 13，那么 AD 的長為 4 ． 【考點(diǎn)】 等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 由已知條件根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到 BD=DC，再根據(jù)三角形的周長定義求解． 第 28 頁（共 35 頁） 【解答】 解： ∵ AB=AC， AD⊥ BC， ∴ BD=DC． ∵ AB+AC+BC=18， 即 AB+BD+CD+AC=18， ∴ AC+DC=9， 又 ∵ AC+DC+AD=13， ∴ AD=13﹣ 9=4． 故答案為： 4． 【點(diǎn)評】 本題考查等腰三角形的性質(zhì)；由已知條件結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)并利用 AC+CD是 △ ABC 的周長的一半是正確解答本題的關(guān)鍵． 三、解答題（本大題共 8 小題，共 72 分） 17．（ 10 分）（ 2022 秋 ?永定區(qū)期中）計(jì)算： （ 1） |﹣ 2|﹣（ ﹣ 1） 0+（ ） ﹣ 1 （ 2）（﹣ ） 2 （ ） ﹣ 2247。 ，其中 a=﹣ 6． 【考點(diǎn)】 分式的化簡求值． 【分析】 先對原式化簡，然后將 a 的值代入即可解答本題． 【解答】 解：原式 = = = ， 當(dāng) a=﹣ 6 時(shí)，原式 = =1． 【點(diǎn)評】 本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 20．如圖，已知 AD=BC， AC=BD． （ 1）求證： △ ADB≌△ BCA； （ 2） OA 與 OB 相等嗎？若相等，請說明理由． 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【分析】 （ 1）根據(jù) SSS 定理推出全等即可； 第 30 頁（共 35 頁） （ 2）根據(jù)全等得出 ∠ OAB=∠ OBA，根據(jù)等角對等邊得出即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 在 △ ADB 和 △ BCA 中， ， ∴△ ADB≌△ BCA（ SSS）； （ 2）解： OA=OB， 理由是： ∵△ ADB≌△ BCA， ∴∠ ABD=∠ BAC， ∴ OA=OB． 【點(diǎn)評】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 21．某商場購進(jìn)甲、乙兩種商品，乙商品的單價(jià)是甲商品單價(jià)的 2 倍，購買 240元甲商品的數(shù)量比購買 300 元乙商品的數(shù)量多 10 件，求兩種商品單價(jià)各為多少元？ 【考點(diǎn)】 分式方程的應(yīng)用． 【分析】 設(shè)甲商品的單價(jià)為 x 元，乙商品的單價(jià)為 2x 元，根據(jù)購買 240 元甲商品的數(shù)量比購買 300 元乙商品的數(shù)量多 10 件列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果． 【解答】 解：設(shè)甲商品的單價(jià)為 x 元，乙商品的單價(jià)為 2x 元， 根據(jù)題意，得 ， 解這個(gè)方程，得 x=9， 經(jīng)檢驗(yàn)， x=9 是所列方程的根， ∴ 2x=2 9=18（元）， 答：甲、乙兩種商品的單價(jià)分別為 9 元、 18 元． 【點(diǎn)評】 此題考查了分式方程的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系 “購買 240 元甲商品的數(shù)量比購買 300 元乙商品的數(shù)量多 10 件 ”是解本題的關(guān)鍵． 第 31 頁（共 35 頁） 22．如圖， △ ABC 中， AB=AC，且 AC 上的中線 BD 把這個(gè)三角形的周長分成了12cm 和 6cm 的兩部分，求這個(gè)三角形的腰長和底邊的長． 【考點(diǎn)】 等腰三角形的性質(zhì)；解二元一次方程組；三角形三邊關(guān)系． 【分析】 設(shè) AD=CD=x， AB=AC=2x， BC=y，再分 AB+AD=12 和 AB+AD=6 兩種情況進(jìn)行討論． 【解答】 解：設(shè) AD=CD=x， AB=AC=2x， BC=y， 當(dāng) AB+AD=12 時(shí)， ，解得 ； 當(dāng) AB+AD=6 時(shí)， ，解得 （不合題意，舍去）． 答：這個(gè)三角形的腰長是 8，底邊長是 2． 【點(diǎn)評】 本題考查的是等腰三 角形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論． 23．（ 10 分）（ 2022 秋 ?永定區(qū)期中）如圖，在 △ ABC 中， ∠ B=38176。． （ 1）畫出下列圖形： ① BC 邊上的高 AD； ②∠ A 的角平分線 AE．（保留作圖痕跡） （ 2）試求 ∠ DAE 的度數(shù)． 【考點(diǎn)】 作圖 —復(fù)雜作圖；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】 （ 1） ① 過點(diǎn) A 作 AD⊥ BC 即可； ② 作 ∠ A 的角平分線 AE 即可； （ 2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出 ∠ BAC 的度數(shù)，由角平分線的定義求出 ∠ BAE第 32 頁（共 35 頁） 的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)可得出 ∠ BAD 的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）如圖所示； （ 2）在 △ ABC 中， ∠ BAC=180176。﹣ 38176。 ∵ AE 平分 ∠ BAC， ∴∠ BAE= ∠ BAC=15176。﹣ ∠ B=52176。． 【點(diǎn)評】 本題考查的是作圖﹣復(fù)雜作圖，熟知角平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵． 24．（ 12 分）（ 2022 秋 ?永定區(qū)期中）如圖，已知 △ ABC 中， AB=AC=8 厘米， BC=6厘米，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)．如果點(diǎn) P 在線段 BC 上以 2 厘米 /秒的速度由 B 點(diǎn)向 C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 在線段 CA 上由 C 點(diǎn)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t． （ 1）當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng) t 秒時(shí) CP 的長度為 （ 6﹣ 2t） cm （用含 t 的代數(shù)式表示）； （ 2）若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過 1 秒后， △ BPD 與 △ CQP是否全等，請說明理由； （ 3）若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使 △ BPD 與 △ CQP 全等？ 【考點(diǎn)】 勾股定理；全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）先表示出 BP，根據(jù) PC=BC﹣ BP，可得出答案； 第 33 頁（共 35 頁） （ 2）根據(jù)時(shí)間和速度分別求得兩個(gè)三角形中的邊的長，根據(jù) SAS 判定兩個(gè)三角形全等． （ 3）根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程 =速度 時(shí)間公式，先求得點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求得點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度； 【解答】 解：（ 1） BP=2t，則 PC=BC﹣ BP=6﹣ 2t； 故答案為（ 6﹣ 2t） cm． （ 2）當(dāng) t=1 時(shí)， BP=CQ=2 1=2 厘米， ∵ AB=8 厘米，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)， ∴ BD=4 厘米． 又 ∵ PC=BC﹣ BP， BC=6 厘米， ∴ PC=6﹣ 2=4 厘米， ∴ PC=BD， 又 ∵ AB=AC， ∴∠ B=∠ C， 在 △ BPD 和 △ CQP 中， ， ∴△ BPD≌△ CQP（ SAS）； ③∵ vP≠ vQ， ∴ BP≠ CQ， 又 ∵△ BPD≌△ CPQ， ∠ B=∠ C， ∴ BP=PC=3cm， CQ=BD=4cm， ∴ 點(diǎn) P，點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t= = 秒， ∴ VQ= = = 厘米 /秒． 第 34 頁（共 35 頁） 【點(diǎn)評】 此題考查了全等三角形的判定，主要運(yùn)用了路程 =速度 時(shí)間的公式，要求熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)． 第 35 頁（共 35 頁）