高中立體幾何-在線瀏覽
2024-11-15 06:58本頁面
【正文】 同學(xué)們考慮一下是否可以得到一個(gè)猜想呢？（學(xué)生討論）生：如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，也必與另一個(gè)平面相交．” [教師板書] 猜想三：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求證：γ與β一定相交． 師：怎么作這樣的猜想呢？生：我想起平面幾何中的一個(gè)結(jié)論：“一條直線與兩條平行線中的一條相交，也必與另一條相交．”師：很好，這里實(shí)質(zhì)用的是類比法來猜想．就是把原來的直線類似看作平面．兩平行直線類似看作兩個(gè)平行平面，從而得出這一猜想．大家再考慮，猜想三中，一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，得到的交線有什么位置關(guān)系？生：平行師：請(qǐng)同學(xué)們表達(dá)出這個(gè)命題．生：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行． [教師板書]猜想四：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b． 求證：a∥b．[通過復(fù)習(xí)定理的證明方法，既發(fā)現(xiàn)了猜想三，猜想四，同時(shí)又復(fù)習(xí)了定理的證明方法，也為猜想四的證明，作了鋪墊] 師：在得到猜想三時(shí)，我們用到了類比法，實(shí)際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問題與平面幾何中的有關(guān)問題作類比，常常能給我們以啟示，發(fā)現(xiàn)立體幾何中的新問題．比如：在平面幾何中，我們有這樣一條定理：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”，請(qǐng)同學(xué)們用類比的方法，看能否得出一個(gè)立體幾何中的猜想？生：把兩條平行線看作兩個(gè)平行平面，可得猜想：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等． [教師板書] 猜想五：已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β． 求證：AA′=BB′．[該命題，在教材中是一道練習(xí)題，但也是平面與平面平行的性質(zhì)定理，為了完整體現(xiàn)平面與平面平行的性質(zhì)定理，故爾把它放在課堂上進(jìn)行分析]三、證明猜想師：通過分析，我們得到了五個(gè)猜想，猜想的結(jié)論往往并不完全可靠．得到猜想，并不意謂著我們已經(jīng)得到了兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，下面主要來論證我們得到的猜想是否正確．[師生相互交流，共同完成猜想的論證] 師：猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過程中要注意應(yīng)用定義． [猜想一證明] 證明：因?yàn)棣痢桅?，所以α與β無公共點(diǎn)． 又 因?yàn)閍 α，所以 a與β無公共點(diǎn)． 故 a∥β．師：利用平面與平面平行的定義及線面平行的定義，論證了猜想一的正確性．這便是平面與平面平行的性質(zhì)定理一．簡(jiǎn)言之，“面面平行，則線面平行．”[教師擦掉“猜想一”，板書“性質(zhì)定理一”] [論證完猜想一之后，教師與學(xué)生共同研究了“猜想二”，發(fā)現(xiàn)，若論證了“猜想四”的正確性質(zhì)，“猜想二”就容易證了，因而首先討論“猜想三，猜想四”] 師：“猜想三”是類比平面幾何中的結(jié)論得到的，還記得初中時(shí)，是怎么證明的？ [學(xué)生回答：反證法] 師：那么，大家可否類比初中的證明方法來證明“猜想三”呢？生：用反證法：假設(shè)γ與β不相交，則γ∥β．這樣過直線a有兩個(gè)平面α和γ與β平行．與“過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行”矛盾．故γ與β相交．師：很好．由此可知：不只是發(fā)現(xiàn)問題時(shí)可用類比法，就是證明方法也可用類比方法．不過猜想三，雖已證明為正確的命題，但教材中并把它作為平面與平面平行的性質(zhì)定理，大家在今后應(yīng)用中要注意．[猜想四的證明] 師：猜想四要證明的是直線a∥b，顯然a，b共面于平面γ，只需推導(dǎo)出a與b無公共點(diǎn)即可． 生：（證法一）因?yàn)?a∥β，所以 a與β無公共點(diǎn)．又因?yàn)?a α，b β．所以 a與b無公共點(diǎn)． 又因?yàn)?a γ，b 所以 a∥b．師：我們來探討其它的證明方法．要證線線平行，可以轉(zhuǎn)化為線面平行． 生：（證法二）因?yàn)?a α，又因?yàn)?α∥β，所以 a∥β．又因?yàn)?a γ，且γ∩β=b，所以 a∥b．師：用兩種不同證法得出了“猜想四”是正確的．這是平面和平面平行的性質(zhì)定理二． [教師擦掉“猜想四”，板書“性質(zhì)定理二”] 師：平面與平面平行的性質(zhì)定理二給出了在兩個(gè)平行平面內(nèi)找一對(duì)平行線的方法．即：“作一平面，交兩面，得交線，則線線平行．”同時(shí)也給我們證明兩條直線平行的又一方法．簡(jiǎn)言之，“面面平行，則線線平行”．[猜想二的證明] 師：猜想二要證明的是直線l⊥β，根據(jù)線面垂直的判定定理，就要證明l和平面β內(nèi)的兩條相交直線垂直．那么如何在平面β內(nèi)作兩條相交直線呢？[引導(dǎo)學(xué)生回憶：“垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行”的定理的證明] γ，生：（證法一）設(shè)l∩α=A，l∩β=B．過AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′． 因?yàn)?α∥β，所以 a∥a′．再過AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′． 同理b∥b′．又因?yàn)閘⊥α，所以 l⊥a，l⊥b，所以 l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故 l⊥β．師：要證明l⊥β，根據(jù)線面垂直的定義，就是要證明l和平面β內(nèi)任何一條直線垂直． 生：（證法二）在β內(nèi)任取一條直線b，經(jīng)過b作一平面γ，使γ∩α=a，因?yàn)?α∥β，所以 a∥b，因此 l⊥α，a α，故 l⊥a，所以 l⊥b． 又因?yàn)閎為β內(nèi)任意一條直線，所以 l⊥β．[教師擦掉“猜想二”，板書“性質(zhì)定理三”] [猜想五的證明] 證明：因?yàn)?AA′∥BB′，所以過AA′，BB′有一個(gè)平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．因?yàn)?α∥β，所以 AB∥A′B′，因此 AA′ B′B為平行四邊形． 故 AA′=BB′．[教師擦掉“
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