高中數(shù)學(xué)立體幾何題型-在線瀏覽
2024-09-15 18:17本頁面
【正文】 過程指引：解法一：（1）如圖，在上取點，使，連結(jié)，則，．因為，所以四邊形，都為平行四邊形．從而，．又因為，所以，故四邊形是平行四邊形，由此推知，從而．因此，四點共面．（2）如圖，又，所以，．因為，所以為平行四邊形，從而．又平面，所以平面．（3）如圖，連結(jié)．因為，所以平面，得．于是是所求的二面角的平面角，即．因為，所以， ．解法二：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，所以，故，共面．又它們有公共點，所以四點共面．（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得．因為，有，又，所以，從而，．故平面．（3）設(shè)向量截面，于是，．而，得，解得，所以．又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．于是．故．小結(jié)：向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定兩個平面的法向量的坐標(biāo)，再用公式求夾角；點面距離一般轉(zhuǎn)化為在面BDF的法向量上的投影的絕對值.例11．如圖,ll2是互相垂直的兩條異面直線，MN是它們的公垂線段，點A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（I）證明ACNB；（II）若，求NB與平面ABC所成角的余弦值.命題目的：本題主要考查異面直線垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間角的一般方法.解答過程：解法一： (Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN. 由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影. ∴AC⊥NB （Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60176。=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB. (Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60176。 = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,∴H(0, , ), 可得=(0, － ), 連結(jié)BH, 則=(－1, ),∵且∠ABD＝30176。 B、60176。 D、0176。答案:B －A1B1C1D1中，① 設(shè)對角線D1B與自D1出發(fā)的三條棱分別成α、β、角求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝1ABCADA1B1C1D1② 設(shè)D1B與自D1出發(fā)的三個面成α、β、角，求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝2[思路啟迪] ①因為三個角有一個公共邊即D1B，在構(gòu)造的直角三角形中，角的鄰邊分別是從長方體一個頂點出發(fā)的三條棱，在解題中注意使用對角線長與棱長的關(guān)系③ 利用長方體性質(zhì)，先找出α，β，然后利用各邊④ 所構(gòu)成的直角三角形來解.解答過程：①連接BC1，設(shè)∠BD1C1＝α，長方體三條棱長分別為a，b，c，設(shè)D1B＝則cos2α＝ 同理cos2β＝，cos2＝∴cos2α＋cos2β＋cos2＝＝1②連接D1C，∵ BC⊥平面DCC1D1 ∴ ∠BD1C即是D1B與平面DCC1D1所成的角，不妨設(shè)∠BD1C＝α，則cos2α＝ 同理：cos2β＝，cos2＝.又∵2＝a2＋b2＋c2.∴cos2α＋cos2β＋cos2＝＝2.棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.典型例題例15. 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a，A1B1C1ABCDOA1在底面△ABC上的射影O在AC上① 求AB與側(cè)面AC1所成角；② 若O恰好是AC的中點，求此三棱柱的側(cè)面積. [思路啟迪] ①找出AB與側(cè)面AC1所成角即是∠CAB；②三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個側(cè)面面積之和，側(cè)面BCC1B1是正方形，側(cè)面ACC1A1和側(cè)面ABB1A1是平行四邊形，分別求其面積即可.解答過程：①點A1在底面ABC的射影在AC上，∴ 平面ACC1A1⊥平面ABC.在△ABC中，由BC＝AC＝a，AB＝a.∴ ∠ACB＝90176。.∴ AB與側(cè)面AC1所成角是45176?！?OD＝a在Rt△A1OD中，A1D＝ ＝.∴ 側(cè)面ABB1A1面積S3＝＝.ABCMNKLABCMNKL∴ 三棱柱側(cè)面積 S＝S1＋S2＋S3＝.例16. 等邊三角形ABC的邊長為4，M、N分別為AB、AC的中點，沿MN將△AMN折起，使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30176。.則四棱錐A—MNCB的高h(yuǎn)＝＝.＝.∴ ＝.∴ 答案 APAHEDBC，四棱錐P—ABCD中，底面是一個矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60176?！?PH＝ .∴ .② 過H作HE⊥BC交BC延長線于E，連接PE， 則HE＝AB＝3. ∵ PH⊥面ABCD， ∴ PE⊥BC. ∴ ∠PEH為二面角P－BC－D的平面角. ∴ tan∠PEH＝.即二面角的大小為 arctan.例18 .（2006年全國卷Ⅱ）已知圓O1是半徑為R的球O的一個小圓，且圓O1的面積與球O的表面積的比值為，則線段OO1與R的比值為 .RrAO1O命題目的：①球截面的性質(zhì)；②球表面積公式.過程指引：依面積之比可求得，再在Rt△OO1A中即得解答過程：設(shè)小圓半徑為r，球半徑為R則 ∴ cos∠OAO1＝而 ABCDEA1B1C1故填【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上， 且BD=1，若AD與側(cè)面AA1CC1所成的角為，則的值為（ ）CBADA. B. C. D. 2．直線a與平面成角，a是平面的斜線，b是平面內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角（ ）A. 最小值，最大值 B. 最小值，最大值C. 最小值，無最大值 D. 無最小值，最大值3．在一個的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成角，則此直線與二面角的另一平面所成的角為（ ）BACDD1C1B1A1A. B. C. D. 4．如圖，直平行六面體ABCDA1B1C1D1的棱長均為2，則對角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成的角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 5．已知在中，AB=9，AC=15，它所在平面外一點P到三頂點的距離都是14，那么點P到平面的距離為（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7ADBAD1C1B1A1MN6．如圖，在棱長為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱A1BA1D1的中點，則點B到平面AMN的距離是（ ）A. B. C. D. 2
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