高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題——立體幾何-在線瀏覽
2025-02-27 00:11本頁(yè)面
【正文】 c o s? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， sin 2 c os c os? ? ?? ? ?， 同理： sin 2 c os c os , sin 2 c os c os? ? ? ? ? ?? ? ? ?，三式相乘。 分析 ：根據(jù)正 n棱錐的結(jié)構(gòu)特征，相鄰兩側(cè)面所成的二面角應(yīng)大于底面正 n 邊形的內(nèi)角，同時(shí)小于 ? ，于是得到（ A）。 分析 ：因?yàn)? iSS? ? ?1,2,3,4i? 所以 1 2 3 4 4S S S SS? ? ? ?。 另一方面，構(gòu)造一個(gè)側(cè)面與底面所成角均為 45? 的三棱錐，設(shè)底面面積為 S4，則： 41 ? ?? ?1 2 3 1 2 31 2 3 41 2 3c o s 4 5 1 2 2 . 5c o s 4 5S S S S S SS S S SS S S S? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?， 若從極端情形加以考慮，當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)落在底面上時(shí)，一方面不能構(gòu)成三棱錐，另外此時(shí)有 1 2 3 4S S S S? ? ? ，也就是 2?? ，于是必須 2?? 。 三、有關(guān)距離的計(jì)算。 分析 ：立體幾何問(wèn)題的處理常需要抓住其主要特征，作為球體其主要特征無(wú)疑為球心與球半徑，將八個(gè)小球的球心獨(dú)立出來(lái)即可得到一個(gè)如圖所示的幾何體。于是將該幾何體補(bǔ)形成為如圖 所示的正八棱柱求其高，也就是求其中一個(gè)部分，三棱 錐 B1— ABC的高，然后加上 2 即可。 分析： 在立體幾何中求距離，最常用的解題思想是轉(zhuǎn)化。 連接 B1D1交線段 A1C1于點(diǎn) F，取 BB1的中點(diǎn) E，連接 A1E、 C1E，顯然， BD1∥平面 A1C1E。 例十一、 （ 1997 年全國(guó)聯(lián)賽一試）已知三棱錐 S— ABC 的底面是以 AB 為斜邊的等腰直角三角形， SA=SB=SC=2， AB=2，設(shè) S、 A、 B、 C 四點(diǎn)都在以 O 為球心的某個(gè)球面上，則點(diǎn) O到平面 ABC的距離為 。所求點(diǎn) O到平面 ABC的 距離即為線段 OD 的長(zhǎng)。 例十二 、（ 1996 年全國(guó)聯(lián)賽一試）高為 8 的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為 2 的球 O1，球心 O1在圓臺(tái)的軸上，球 O1與圓臺(tái)的上底面、側(cè)面都相切。除球 O2，圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為 3的球的個(gè)數(shù)是 （ A） 1 ； （ B） 2 ； （ C） 3； （ D） 4 。D1 C1 B1 A1 D C B A F E O D B C A S 43 如圖：作 O2O⊥軸 OO1于 O，則： ? ? ? ?222 2 3 8 2 3 2 5 9 4OO ? ? ? ? ? ? ? ? 原問(wèn)題即需考查在半徑為 4的圓周上，均勻分布著幾個(gè)半徑為 3且不相交的圓。即可加入兩個(gè)小球。 分析 ：設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為 a ，側(cè)棱長(zhǎng)為 b ，則： 2222223244aa baaa b bb??? ? ? 即： 2223bab?? 化簡(jiǎn)得： 32ba? 所以， 3, 2ab??。于是有最遠(yuǎn)距離為底邊長(zhǎng) 3。求 l與 m的距離。 若點(diǎn) A、 B、 C在點(diǎn) L的同側(cè)，設(shè)所求距 離為 d ， 2 2 2 272 1 5 1 02 d d d?? ? ? ? ? ????? 解得： 6d? ， 若點(diǎn) A、 B、 C在點(diǎn) L的兩側(cè)，如圖所示有 2EH DI FG??，即有等式： 2 2 2 272 1 5 1 02 d d d?? ? ? ? ? ?????， 解得： 6d? 。 例十五 、（ 2022年全國(guó)聯(lián)賽一試）在四面體 ABCD中，設(shè) 1, 3AB CD??，直線 AB與 CD 的距離為 2，夾角為 3? ，則四面體 ABCD的體積等于 ? ? ? ? ? ? ? ?3 1 1 3 。 。 從題目所給條件看，已知長(zhǎng)度的兩條線段分別位于 兩條異面直線上，而已知距離是兩條異面直線之間的距離而非點(diǎn)線距。 作 BE∥ CD,且 BE=CD，連接 DE、 AE，顯然，三棱錐 A— BCD與三棱錐 A— BDE 底面積和高都相等，故它們有相等的體積。運(yùn)用祖 原理的思想我們可以將不規(guī)則的幾何體的 體 積計(jì)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的體積計(jì)算。顯然，本題中的兩個(gè)幾何體符合祖暅原理的條件，比較其截面面積如下： 取 ? ?44y a a? ? ? ?，則： ? ? 21 1 6 2 1 6 4S a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 0a? 時(shí)： ? ? ? ?? ?2 222 1 6 4 2 1 6 4S a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) 0a? 時(shí)： ? ? ? ?? ?2 222 1 6 4 2 1 6 4S a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 顯然， 12SS? ，于是有： 12VV?
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