高二數(shù)學(xué)橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程-在線瀏覽
2025-01-15 16:43本頁(yè)面
【正文】 得 m ＝ 10 或 m ＝－ 2( 舍去 ) ． ∴ 所求橢圓的方程為x210＋y215＝ 1. 橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 橢圓上一點(diǎn) P與橢圓的兩焦點(diǎn) F F2構(gòu)成的 △ F1PF2稱為焦點(diǎn)三角形 ， 解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題時(shí)要充分利用橢圓的定義 、 三角形中的正弦定理 、余弦定理等知識(shí) ． 例 2 已知橢圓的焦點(diǎn)是 F1(－ 1,0)， F2(1,0)， P為橢圓上一點(diǎn) ， 且 |F1F2|是 |PF1|和 |PF2|的等差中項(xiàng) ． (1)求橢圓的方程； (2)若點(diǎn) P在第二象限 ， 且 ∠ PF1F2＝ 120176。 ， 即 | PF2|2＝ |PF1|2＋ 4 ＋ 2| PF1|. ① 由橢圓定義，得 | PF1|＋ | PF2|＝ 4 ， 即 | PF2|＝ 4 － | PF1|， ② ② 代入 ① 解得 | PF1|＝65. ∴ S △ PF1F2＝12| PF1| s i n 120 176。| PF2|看成一個(gè)整體，運(yùn)用公式 | PF1|2＋ | PF2|2＝ (| PF1|＋| PF2|)2－ 2| PF1| | PF2|，而無(wú)需單獨(dú)求出，這樣可 以減少運(yùn)算量 ． 自我挑戰(zhàn) 2 如圖所示，已知經(jīng)過(guò)橢圓x225＋y216＝ 1的右焦點(diǎn) F2的直線 AB 垂直于 x 軸，交橢圓于 A 、B 兩點(diǎn)， F1是橢圓的左焦點(diǎn) ． ( 1) 求 △ AF1B 的周長(zhǎng)； ( 2) 如果直線 AB 不垂直于 x 軸， △ AF1B 的周長(zhǎng)有變化嗎？為什么？ 解： ( 1 ) 由題意知， A 、 B 在橢圓x225＋y216＝ 1 上， 故有 | AF2|＋ | AF1|＝ 2 a ＝ 10 ， | BF1|＋ | BF2|＝ 2 a ＝ 10 ， | AF2|＋ | BF2|＝ AB ， ∴△ ABF1的周長(zhǎng)＝ | AF1| ＋ | BF1| ＋ | AB | ＝ | AF1| ＋| BF1|＋ | AF2|＋ | BF2|＝ (| AF1|＋ | AF2|) ＋ (| BF1|＋ | BF2|)＝ 2 a ＋ 2 a ＝ 4 a ＝ 4 5 ＝ 20. ∴△ ABF1的周長(zhǎng)為 20 . ( 2) 如果直線
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