高二數(shù)學橢圓的定義與標準方程-文庫吧資料
2024-11-20 16:43本頁面
【正文】 y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ． ∴ 2 a ＝ ? 5 ＋ 4 ?2＋ ? 5 － 4 ?2＝ 10 ， ∴ a ＝ 5. 又 c ＝ 4 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 25 － 16 ＝ 9. 故所求橢圓的方程為x225＋y29＝ 1. ( 2) 由于橢圓的焦點在 y 軸上， ∴ 設(shè)它的標準方程為y2a2＋x2b2＝ 1( a b 0) ． 由于橢圓經(jīng)過點 ( 0, 2 ) 和 (1 , 0) ， ∴??? 4a2＋0b2＝ 10a2＋1b2＝ 1?????? a2＝ 4 ，b2＝ 1. 故所求橢圓的方程為y24＋ x2＝ 1. 【方法小結(jié)】 ( 1) 當且僅當橢圓的中心在原點，其焦點在坐標軸上時，橢圓的方程才具有標準形式 ． 焦點在 x 軸上的標準方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0) ；焦點在y 軸上的標準方程為y2a2＋x2b2＝ 1( a b 0) ． 在這兩種標準方程中，總有 a b 0 ，焦點所在軸與 a2的分子相對應(yīng) ． 方程中的參數(shù) a ， b ， c 是橢圓所固有的，與坐標系的建立無關(guān)，且始終滿足關(guān)系式 a2＝ b2＋ c2. ( 2) 用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程步驟如下： ① 作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點在 x 軸上還是在 y 軸上，還是兩個坐標軸上都有可能 ． ② 設(shè)方程： ( ⅰ ) 依據(jù)上述判斷，設(shè)方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) 或x2b2＋y2a2＝ 1( a b 0 ) ． ( ⅱ ) 在不能確定焦點位置的情況下也可設(shè) mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 且 m ≠ n ) ． ③ 找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a ， b ， c 或 m ，n 的方程組 ． ④ 得方程：解方程組，代入所設(shè)方程即為所求 ． 自我挑戰(zhàn) 1 根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程 ． ( 1) 坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過兩點 A ( 0, 2 ) 和 B (12，3 ) ； ( 2) 經(jīng)過點 (2 ，－ 3) 且與橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 有共同的焦點 ． 解： ( 1) 設(shè)所求橢圓的方程為x2m＋y2n＝ 1( m
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