導數(shù)與單調(diào)性極值最基礎值習題-在線瀏覽
2024-09-15 05:49本頁面
【正文】 （1，+∞）上單調(diào)增，（﹣1，1）上單調(diào)減，∴函數(shù)在x=﹣1處取得極大值，在x=1處取得極小值．∵函數(shù)y=x3﹣3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點，∴極大值等于0或極小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故選：A．【點評】本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關鍵是利用極大值等于0或極小值等于0． 7．設函數(shù)f（x）=xex，則（ ?。〢．x=1為f（x）的極大值點 B．x=1為f（x）的極小值點C．x=﹣1為f（x）的極大值點 D．x=﹣1為f（x）的極小值點【分析】由題意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出x=﹣1為f（x）的極小值點【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函數(shù)在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函數(shù)在（﹣∞，﹣1）上是減函數(shù)所以x=﹣1為f（x）的極小值點故選：D．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，解題的關鍵是正確求出導數(shù)及掌握求極值的步驟，本題是基礎題， 8．函數(shù)y=x3﹣2ax+a在（0，1）內(nèi)有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ?。〢．（0，3） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，3）【分析】先對函數(shù)求導，函數(shù)在（0，1）內(nèi)有極小值，得到導函數(shù)等于0時，求出x的值，這個值就是函數(shù)的極小值點，使得這個點在（0，1）上，求出a的值．【解答】解：根據(jù)題意，y39。=3x2﹣2a=0有極小值則方程有解a＞0x=177。=6x2﹣6x﹣12令y39。（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵函數(shù)f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當x=1時，有極值10，∴，∴或時，f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b=3（x﹣1）2=0有兩個相等的實根，不滿足題意；∴a+b=7故答案為：7【點評】本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查學生的計算能力，屬于基礎題． 17．已知函數(shù)f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則c= 6 ．【分析】由已知函數(shù)f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則必有f′（2）=0，且在x=2的兩側(cè)異號即可得出．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函數(shù)f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．經(jīng)檢驗c=2時，函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值，不符合題意，應舍去．故c=6．故答案為6．【點評】熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的方法是解題的關鍵． 18．已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是?。ī仭蓿?）∪（2，+∞）?。痉治觥肯葘瘮?shù)進行求導，根據(jù)函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，可以得到△＞0，進而可解出a的范圍．【解答】解：∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1∴f39。（x）的正負的表格，從而可確定最值得到答案．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，3）3f′（x） +0﹣0+f（x）17 極值24極值﹣8 ﹣1可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案為：32【點評】本題主要考查函數(shù)的求導運算、函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關系和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導數(shù)是由高等數(shù)學下放到高中的內(nèi)容，每年必考，要引起重視． 23．設f（x）=x3﹣﹣2x+5，當x∈[﹣1，2]時，f（x）＜m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為 （7，+∞）?。痉治觥肯惹髮?shù)，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點的大小從而確定出最大值，進而求出變量m的范圍．【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0解得：x=1或﹣當x∈時，f39。（x）＜0，當x∈（1，2）時，f39。（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，由g（﹣x）=﹣g（x），利用待系數(shù)法求解．（2）由（1）知，再求導g39。（x）≥0求得增區(qū)間，由g39。（x）=3ax2+2x+b因此g（x）=f（x）+f39。（x）=﹣x2+2，令g39。（x）＜0從而g（x）在區(qū)間，上是減函數(shù)，當，從而g（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，由前面討論知，g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值只能在時取得，而，因此g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為，最小值為．【點評】本題主要考查構(gòu)造新函數(shù)，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值． 26．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；（Ⅱ）設0＜a＜b，證明0＜g（a）+g（b）﹣2g（）＜（b﹣a）ln2．【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)進行求導運算，令導函數(shù)等于0求出x的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出最大值．（2）先將a，b代入函數(shù)g（x）得到g（a）+g（b）﹣2g（）的表達式后進行整理，根據(jù)（1）可得到lnx＜x，將、放縮變形為、代入即可得到左邊不等式成立，再用根據(jù)y=lnx的單調(diào)性進行放縮＜．然后整理即可證明不等式右邊成立．【解答】（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，+∞）．．令f′（x）=0，解得x=0．當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0．又f（0）=0，故當且僅當x=0時，f（x）取得最大值，最大值為0．（Ⅱ）證明：=．由（Ⅰ）結(jié)論知ln（1+x）﹣x＜0（x＞﹣1，且x≠0），由題設，因此ln=﹣ln（1+）＞﹣，所以．又，＜．=（b﹣a）ln＜（b﹣a）ln2綜上．【點評】本題主要考查導數(shù)的基本性質(zhì)和應用、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識以及綜合推理論證的能力． 27．已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅲ）對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出f（2），再根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出該點的導數(shù)值，即得曲線在此點處的切線的斜率，然后用點斜式寫出切線方程即可（Ⅱ）令導數(shù)大于0解出增區(qū)間，令導數(shù)小于0，解出函數(shù)的減區(qū)間，然后由極值判斷規(guī)則確定出極值即可．（Ⅲ）由于f（x）≥bx﹣2恒成立，得到在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，b≤g（x）min即可．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），則，f（2）=1﹣ln2，∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為，即x﹣2y﹣2ln2=0；（Ⅱ），令f′（x）＞0，得x＞1，列表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘0↗∴函數(shù)y=f（x）的極小值為f（1）=0；（Ⅲ）依題意對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立等價于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在（0，+∞）上恒成立可得在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，令g′（x）=0，得x=e2列表：x（0，e2）e2（e2，+∞）g39。（x）=1+lnx．令f3
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