【正文】 　=6(x21)2+7x(x21)24x2　　　　　　　=[2(x21)3x］［3(x21)+8x]　　　　　　　=(2x23x2)(3x2+8x3)　　　　　　　=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)．　　說(shuō)明 本解法實(shí)際上是將x21看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體．　　解法2　　 　　　　　　　　原式=x2[6(t2+2)+7t36]　　　　=x2(6t2+7t24)=x2(2t3)(3t+8)　　　　=x2[2(x1/x)3][3(x1/x)+8]　　　　=(2x23x2)(3x2+8x3)　　　　=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)．　　例10 分解因式：(x2+xy+y2)4xy(x2+y2)．　　分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱(chēng)式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．　　解 原式=[(x+y)2xy]24xy[(x+y)22xy]．令x+y=u，xy=v，則　　原式=(u2v)24v(u22v)　　　　=u46u2v+9v2　　　　=(u23v)2　　　　=(x2+2xy+y23xy)2　　　　=(x2xy+y2)2．練習(xí)一　　1．分解因式：　　　　(2)x10+x52；　　　　(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x5．　　2．分解因式：　　(1)x3+3x24；　　(2)x411x2y2+y2；　　(3)x3+9x2+26x+24；　　(4)x412x+323．　　3．分解因式：　　(1)(2x23x+1)222x2+33x1；　　(2)x4+7x3+14x2+7x+1；　　(3)(x+y)3+2xy(1xy)1；(4)(x+3)(x21)(x+5)20．第二講 因式分解(二)　　1．雙十字相乘法　　分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法．對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．　　例如，分解因式2x27xy22y25x+35y3．我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2(5+7y)x(22y235y+3)，　　可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式．　　對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為　　即　　22y2+35y3=(2y3)(11y+1)．　　 再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解　　所以　　原式=［x+(2y3)］［2x+(11y+1)］　　　　=(x+2y3)(2x11y+1)．　　上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法．如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：　　它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：　　(x+2y)(2x11y)=2x27xy22y2；　　(x3)(2x+1)=2x25x3；　　(2y3)(11y+1)=22y2+35y3．　　這就是所謂的雙十字相乘法．　　用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；　　(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．　　例1 分解因式：　　(1)x23xy10y2+x+9y2；　　(2)x2y2+5x+3y+4；　　(3)xy+y2+xy2；　　(4)6x27xy3y2xz+7yz2z2．　　解 (1)　　原式=(x5y+2)(x+2y1)．　　(2)　　原式=(x+y+1)(xy+4)．　　(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來(lái)分解．　　原式=(y+1)(x+y2)．　　(4)　　原式=(2x3y+z)(3x+y2z)．　　說(shuō)明 (4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類(lèi)似．　　2．求根法　　我們把形如anxn+an1xn1+…+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，…等記號(hào)表示，如　　f(x)=x23x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示．如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)　　f(1)=1231+2=0；　　f(2)=(2)23(2)+2=12．　　若f(a)=0，則稱(chēng)a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根．　　定理1(因式定理) 若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式xa．　　根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根．對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根．　　定理2　　　　的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．　　我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．　　例2 分解因式：x34x2+6x4．　　分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)4的約數(shù)：177。全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第二冊(cè)第一講 因式分解(一) 1第二講 因式分解(二) 10第三講 實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用 17第四講 分式的化簡(jiǎn)與求值 26第五講 恒等式的證明 34第六講 代數(shù)式的求值 44第七講 根式及其運(yùn)算 52第八講 非負(fù)數(shù) 63第九講 一元二次方程 73第十講 三角形的全等及其應(yīng)用 81第十一講 勾股定理與應(yīng)用 90第十二講 平行四邊形 101第十三講 梯形 108第十四講 中位線(xiàn)及其應(yīng)用 116第十五講 相似三角形(一) 124第十六講 相似三角形(二) 132第十八講 歸納與發(fā)現(xiàn) 153第十九講 特殊化與一般化 162第二十講 類(lèi)比與聯(lián)想 171第二十一講 分類(lèi)與討論 180第二十二講 面積問(wèn)題與面積方法 188第二十三講 幾何不等式 197第二十六講 含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題 222第二十七講 列方程解應(yīng)用問(wèn)題中的量與等量 230第二十八講 怎樣把實(shí)際問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題(一) 239第二十九講 生活中的數(shù)學(xué)(一) 247第三十講 生活中的數(shù)學(xué)(二) 254復(fù)習(xí)題 260自測(cè)題 268自測(cè)題一 268自測(cè)題二 270自測(cè)題三 271自測(cè)題四 273自測(cè)題五 274復(fù)習(xí)題解答 276自測(cè)題解答 304自測(cè)題一 304自測(cè)題二 309自測(cè)題三 314自測(cè)題四 321自測(cè)題五 327第一講 因式分解(一)　　多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹．　　1．運(yùn)用公式法　　在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2b2=(a+b)(ab)；　　(2)a2177。2ab+b2=(a177。1，177。4，只有　　f(2)=23422+624=0，　　即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x2．　　解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x2)．　　原式=(x32x2)(2x24x)+(2x4)　　　　=x2(x2)2x(x2)+2(x2)　　　　=(x2)(x22x+2)．　　解法2 用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x2)，　　所以原式=(x2)(x22x+2)．　　說(shuō)明 在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是4的約數(shù)，反之不成立，即4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根．因此，必須對(duì)4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證．　　例3 分解因式：9x43x3+7x23x2．　　分析 因?yàn)?的約數(shù)有177。3，177。1，177。1，177。6b3+36b2)+(b2+6b)20　　=(b2+6b)2+(b2+6b)20　　=52+520=10．　　例9 求滿(mǎn)足條件　　的自然數(shù)a，x，y．　　解 將原式兩邊平方得　　　　　由①式變形為　　　　　　兩邊平方得　　　　　　　　　　　　　　例10 設(shè)an是12+22+32+…+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，…，求證：…an…是有理數(shù)．　　分析 有理數(shù)的另一個(gè)定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)．所以，…an…是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手．　　證 計(jì)算an的前若干個(gè)值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，…an…是由20個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即　　下面證明ak+20=ak．　　令f(n)=12+22+…+n2，當(dāng)f(n+20)f(n)是10的倍數(shù)時(shí)，表明f(n+20)與f(n)有相同的個(gè)位數(shù)，而　　f(n+20)f(n)　　=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2　　=10(2n2+421．所以a+b+c的值為0，1，1．　　說(shuō)明 本題也可以用如下方法對(duì)②式變形：　　　　即　　　　前一解法是加一項(xiàng)，再減去一項(xiàng)；這個(gè)解法是將3拆成1+1+1，最終都是將②式變形為兩個(gè)式子之積等于零的形式．　　2．利用乘法公式求值　　例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．　　解 因?yàn)閤+y=m，所以　　m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3mx10的值．第七講 根式及其運(yùn)算　　二次根式的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算法則是根式運(yùn)算的基礎(chǔ)，在進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí)，往往用到絕對(duì)值、整式、分式、因式分解，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等有關(guān)知識(shí)與解題方法，也就是說(shuō)，根式的運(yùn)算，可以培養(yǎng)同學(xué)們綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法的能力．下面先復(fù)習(xí)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．　　　　二次根式的性質(zhì)：　　　　　　　二次根式的運(yùn)算法則：　　　　　　　設(shè)a，b，c，d，m是有理數(shù)，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅　　　　　當(dāng)兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．　　例1 化簡(jiǎn)：　　　　　法是配方去掉根號(hào)，所以　　　　因?yàn)閤2＜0，1x＜0，所以　　原式=2x+x1=1．　　　　　　　?。絘ba+ba+b=ba．　　說(shuō)明 若根式中的字母給出了取值范圍，則應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)；若沒(méi)有給出取值范圍，則應(yīng)在字母允許取值的范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)．　　例2 化簡(jiǎn)：　　　　分析 兩個(gè)題分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，這樣計(jì)算化簡(jiǎn)較繁．我們可以先將分母因式分解后，再化簡(jiǎn)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　解法1 配方法．　　　　配方法是要設(shè)法找到兩個(gè)正數(shù)x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，則　　　　　解法2 待定系數(shù)法．　　　　　　　　　　例4 化簡(jiǎn)：　　　　　　　　　　(2)這是多重復(fù)合二次根式，可從里往外逐步化簡(jiǎn)．　　　　　　　　　　　分析 被開(kāi)方數(shù)中含有三個(gè)不同的根式，且系數(shù)都是2，可以看成　　解 設(shè)　　　　兩邊平方得　　　　　　?、冖邰艿谩　?xyz)2=5735=352．　　因?yàn)閤，y，z均非負(fù)，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤　?、?47。0｜＋20｜=40．　　說(shuō)明 本題解法中應(yīng)用了“若a≥0且a≤0，則a=0”，這是個(gè)很有用的性質(zhì)．　　例3 已知x，y為實(shí)數(shù)，且　　解 因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，要使y的表達(dá)式有意義，必有　　　　　　　　解 因?yàn)閍2+b24a2b+5=0，所以a24a+4+b22b+1=0，　　即 (a2)2+(b1)2=0．　　(a2)2=0，且 (b1)2=0．　　所以a=2，b=1．所以　　　　例5 已知x，y為實(shí)數(shù)，求　　u=5x26xy+2y2+2x2y+3的最小值和取得最小值時(shí)的x，y的值．　　解 u=5x26xy+2y2+2x2y+3　　　　=x2+y2+12xy+2x2y+4x24xy+yg2+2　　　　=(xy+1)2+(2xy)2+2．　　因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，所以　　(xy+1)2≥0，(2xy)2≥0，所以u(píng)≥2．所以當(dāng)　　時(shí)，u有最小值2，此時(shí)x=1，y=2．　　例6 確定方程(a2+1)x22ax+(a2+4)=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．