【正文】 相向趨進(jìn)”(即將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)．　　例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1y2)(1z2)+y(1x2)(1z2)+z(1x2)(1y2)=4xyz．　　分析 將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡(jiǎn)成右邊．　　證 因?yàn)閤+y+z=xyz，所以　　左邊=x(1z2y2y2z2)+y(1z2x2+x2z2)+(1y2x2+x2y2) 　　　　=(x+y+z)xz2xy2+xy2z2yz2+yx2+yx2z2zy2zx2+zx2y2　　　　=xyzxy(y+x)xz(x+z)yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyzxy(xyzz)xz(xyzy)yz(xyzx)+xyz(xy+yz+zx)　　　　=xyz+xyz+xyz+xyz　　　　=4xyz=右邊．　　說明 本例的證明思路就是“由繁到簡(jiǎn)”．　　例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且　　　　證 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，則　　　　　　　又因?yàn)椤　　　∷浴　　　∷浴　　　≌f明 本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，通過設(shè)參數(shù)k，使左右兩邊同時(shí)變形為同一形式，從而使等式成立．　　2．比較法　　a=b(比商法)．這也是證明恒等式的重要思路之一． 　　例3 求證：　　 　　分析 用比差法證明左右=0．本例中，　　　　這個(gè)式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對(duì)第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對(duì)第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)．具有這種特性的式子叫作輪換式．利用這種特性，可使輪換式的運(yùn)算簡(jiǎn)化．　　證 因?yàn)椤　　　　　　　　　　　　　∷浴　　　∷浴　　　≌f明 本例若采用通分化簡(jiǎn)的方法將很繁．像這種把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．　　全不為零．證明：　　(1+p)(1+q)(1+r)=(1p)(1q)(1r)．　　　　同理　　　　所以　　　　　 　　　　　所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1p)(1q)(1r)．　　說明 本例采用的是比商法．　　3．分析法與綜合法　　根據(jù)推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”．而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論．　　　　證 要證 a2+b2+c2=(a+bc)2，只要證　　a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab2ac2bc，　　只要證 ab=ac+bc，　　只要證 c(a+b)=ab，　　只要證　　這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立．　　說明 本題采用的方法是典型的分析法．　　例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d．　　證 由已知可得a4+b4+c4+d44abcd=0，　　(a2b2)2+(c2d2)2+2a2b2+2c2d24abcd=0，　　所以　　(a2b2)2+(c2d2)2+2(abcd)2=0．　　因?yàn)?a2b2)2≥0，(c2d2)2≥0，(abcd)2≥0，所以　　a2b2=c2d2=abcd=0，　　所以 (a+b)(ab)=(c+d)(cd)＝0．　　又因?yàn)閍，b，c，d都為正數(shù)，所以a+b≠0，c+d≠0，所以　　a＝b，c=d．　　所以　　abcd=a2c2=(a+c)(ac)=0，　　所以a＝c．故a=b＝c=d成立．　　說明 本題采用的方法是綜合法．　　4．其他證明方法與技巧　　　　求證：8a+9b+5c=0．　　　　a+b=k(ab)，b+c=2k(bc)，　　(c+a)=3k(ca)．　　所以　　6(a+b)=6k(ab)，　　3(b+c)=6k(bc)，　　2(c+a)=6k(ca)．以上三式相加，得　　6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)　　=6k(ab+bc+ca)，　　即 8a+9b+5c=0．　　說明 本題證明中用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用的也是類似方法．這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧．　　例8 已知a+b+c=0，求證　　2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．　　分析與證明 用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．　　左右=2(a4+b4+c4)(a2+b2+c2)2　　　　=a4+b4+c42a2b22b2c22c2a2　　　　=(a2b2c2)24b2c2　　　　=(a2b2c2+2bc)(a2b2c22bc)　　　　=[a2(bc)2][a2(b+c)2]　　　　=(ab+c)(a+bc)(abc)(a+b+c)=0．所以等式成立．　　說明 本題證明過程中主要是進(jìn)行因式分解．　　　　分析 本題的兩個(gè)已知條件中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法．　　證 由已知　　　　　　　　說明 本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法．　　例10 證明：　　(y+z2x)3+(z+x2y)3+(x+y2z)3　　=3(y+z2x)(z+x2y)(x+y2z)．　　分析與證明 此題看起來很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法．令y+z2x=a，①z+x2y=b，②x+y2z=c，③　　則要證的等式變?yōu)閍3+b3+c3=3abc．　　聯(lián)想到乘法公式：　　a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)，所以將①，②，③相加有　　a+b+c=y+z2x+z+x2y+x+y2z=0，　　所以 a3+b3+c33abc=0，　　所以　　(y+z2x)3+(z+x2y)3+(x+y2z)3　　=3(y+z2x)(z+x2y)(x+y2z)．　　說明 由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效力．　　例11 設(shè)x，y，z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且　　求證：x2y2z2=1．　　分析 本題x，y，z具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)，我們不妨先看二元的　　　所以x2y2=1．三元與二元的結(jié)構(gòu)類似．　　證 由已知有　　　?、佗冖鄣脁2y2z2=1．　　說明 這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問題的思路中．　　總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能．同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會(huì)例題中的常用變形技能與方法，這對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要．練習(xí)五　　1．已知(ca)24(ab)(bc)=0，求證：2b=a+c．　　2．證明：　　(x+y+z)3xyz(yz+zx+xy)3　　=xyz(x3+y3+z3)(y3z3+z3x3+x3y3)．　　3．求證：　　　　　　　5．證明：　　　　6．已知x2yz=y2xz=z2xy，求證：x=y=z或x+y+z=0．　　7．已知anbm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求證：　　(cmap)2=(bp)(anbm)．第六講 代數(shù)式的求值　　代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切．許多代數(shù)式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、約分、根式的性質(zhì)等等，經(jīng)過恒等變形，把代數(shù)式中隱含的條件顯現(xiàn)出來，化簡(jiǎn)，進(jìn)而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法．下面結(jié)合例題逐一介紹．　　1．利用因式分解方法求值　　因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，經(jīng)常被采用．　　　　分析 x的值是通過一個(gè)一元二次方程給出的，若解出x后，再求值，將會(huì)很麻煩．我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件．　　解 已知條件可變形為3x2+3x1=0，所以　　6x4+15x3+10x2　　=(6x4+6x32x2)+(9x3+9x23x)+(3x2+3x1)+1　　=(3x2+3x1)(2z2+3x+1)+1　　=0+1=1．　　說明 在求代數(shù)式的值時(shí)，若已知的是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式的值，這時(shí)要盡可能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會(huì)使問題得到簡(jiǎn)捷的解答．　　例2 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且滿足下式：　　a2+b2+c2=1，①　　　　求a+b+c的值．　　解 將②式因式分解變形如下　　　　即　　　　　　所以　　a+b+c=0或bc+ac+ab=0．　　若bc+ac+ab=0，則　　(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)　　　　　　=a2+b2+c2=1，　　所以 a+b+c=177。7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．　　解 設(shè)　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，　　所以有　　由bd=7，先考慮b=1，d=7有　　　　　所以　　原式=(x27x+1)(x2+5x+7)．　　說明 由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=1，d=7等可以不加以考慮．本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止．　　本題沒有一次因式，因而無法運(yùn)用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．練習(xí)二　　1．用雙十字相乘法分解因式：　　(1)x28xy+15y2+2x4y3；　　(2)x2xy+2x+y3；　　(3)3x211xy+6y2xz4yz2z2．　　2．用求根法分解因式：　　(1)x3+x210x6；　　(2)x4+3x33x212x4；　　(3)4x4+4x39x2x+2．　　3．用待定系數(shù)法分解因式：　　(1)2x2+3xy9y2+14x3y+20；　　(2)x4+5x3+15x9．第三講 實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用　　實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ)．在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗婕暗綐O限的概念．這一概念對(duì)中學(xué)生而言，有一定難度．但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有實(shí)數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的．因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的．本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用．　　用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的．　　性質(zhì)1 任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然．　　例1　　　　分析 要說明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個(gè)整數(shù)比的形式．　　證 設(shè)　　　　兩邊同乘以100得　　　　②①得　　99x==，　　　　　無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是封閉的，而無理是說，無理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性質(zhì)． 　　性質(zhì)2 設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則　　(1)a+b，ab是無理數(shù)；　　　　有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，即　　在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實(shí)數(shù)，也沒有最大的實(shí)數(shù)．任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大?。w實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)(即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性)．任一實(shí)數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)．　　例2　　　　分析　　證　　　　　　　所以　　　　　　　　分析 要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無理數(shù)時(shí)，常常采用反證法．　　證 用反證法．　　　　　所以p一定是偶數(shù)．設(shè)p=2m(m是自然數(shù))，代入①得　　4m2＝2q2，q2＝2m2，　　　　　例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．　　分析 設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明．　　證 將原式變形為(b1b2)a=a2a1．若b1≠b2，則　　　　　反之，顯然成立．　　說明 本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì)．　　是無理數(shù)，并說明理由．　　　　整理得　　由例4知　　a＝Ab，1=A，　　　　說明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立