【正文】 ②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z顯然滿(mǎn)足①，所以　　　　　　　解 設(shè)原式=x，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)來(lái)解．　　　　將方程左端因式分解有　　(x4)(x2＋4x＋10)＝0．　　因?yàn)椤　2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，　　所以x4＝0，x＝4．所以原式＝4．　　解法2　　　　　　　說(shuō)明 解法2看似簡(jiǎn)單，但對(duì)于三次根號(hào)下的拼湊是很難的，因此本題解法1是一般常用的解法．　　例8 化簡(jiǎn)：　　　　解(1)　　 　　　　　　　　　　　本小題也可用換元法來(lái)化簡(jiǎn)．　　　　　　　　　　解 用換元法．　　　　　　　　　　　　　解 直接代入較繁，觀察x，y的特征有　　　　所以　　3x25xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y211xy　　　　　　　 ＝3(x＋y)211xy　　 　　　　?。?102111＝289．　　例11 求　　　　分析 本題的關(guān)鍵在于將根號(hào)里的乘積化簡(jiǎn)，不可一味蠻算．　　解 設(shè)根號(hào)內(nèi)的式子為A，注意到1＝(21)，及平方差公式(a＋b)(ab)＝a2b2，所以　　A＝(21)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1　?。?221)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1　　＝(241)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1　?。健?22561)(2256＋1)＋1　　＝222561＋1＝22256，　　　　　　　　　的值．　　分析與解 先計(jì)算幾層，看一看有無(wú)規(guī)律可循．　　　　　　　　　　　　　解 用構(gòu)造方程的方法來(lái)解．設(shè)原式為x，利用根號(hào)的層數(shù)是無(wú)限的特點(diǎn)，有　　兩邊平方得　　　　兩邊再平方得　　x44x2＋4＝2＋x，所以x44x2x＋2＝0．　　觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＝1，2時(shí)，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x2)，將方程左端因式分解，有　　(x＋1)(x2)(x2＋x1)＝0．　　　　　　　　　　　解 因?yàn)椤　　　　　　　【毩?xí)七　　1．化簡(jiǎn)：　　　　　　　　2．計(jì)算：　　　　　　　3．計(jì)算：　　　　　　　　　　　　　第八講 非負(fù)數(shù)　　所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù)．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處．常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的偶次冪、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和算術(shù)根．　　1．實(shí)數(shù)的偶次冪是非負(fù)數(shù)　　若a是任意實(shí)數(shù)，則a2n≥0(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=1時(shí)，有a2≥0．　　2．實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)　　若a是實(shí)數(shù)，則　　性質(zhì) 絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是零．`　　3．一個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)　　　　4．非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)　　(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù)．(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即若a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，則　　a1＋a2＋…＋an≥0．　　(3)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零，即若a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，且a1＋a2＋…＋an=0，則必有a1＝a2＝…＝an＝0．　　在利用非負(fù)數(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，這條性質(zhì)使用的最多．　　(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù)．　　(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒(méi)有最大的非負(fù)數(shù)．　　(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式△=b24ac為非負(fù)數(shù)．　　應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于能否識(shí)別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問(wèn)題得到解決．　　　　　　　解得a=3，b=2．代入代數(shù)式得　　　　　　　解 因?yàn)?20x3)2為非負(fù)數(shù)，所以(20x3)2≤0． ①　　(20x3)2≥0． ②　　由①，②可得：(20x3)2=0．所以　　原式=｜｜20177。xy，　　　　所以　　　　　求x2+6xy+y2的值．　　分析 將x，y的值直接代入計(jì)算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中x，y的值正好是一對(duì)共軛無(wú)理數(shù)，所以很容易計(jì)算出x+y與xy的值，由此得到以下解法．　　解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy　　　　　　　 =(x+y)2+4xy　　　　　　　 　　3．設(shè)參數(shù)法與換元法求值　　如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù))，以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法．有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個(gè)字母來(lái)替換，這叫換元法．　　　　分析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個(gè)等式．　　　　x＝(ab)k，y＝(bc)k，z＝(ca)k．　　所以　　x+y+z=(ab)k＋(bc)k+(ca)k=0．　　　　　　　　　u+v+w=1，①　　　　由②有　　　　把①兩邊平方得　　u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，　　所以u(píng)2+v2+w2=1，　　即　　　　　　　　　　　　　　兩邊平方有　　　　所以　　　　4．利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值　　若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，這個(gè)性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用．　　例8 若x24x+|3xy|=4，求yx的值． 　　分析與解 x，y的值均未知，而題目卻只給了一個(gè)方程，似乎無(wú)法求值，但仔細(xì)挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．　　因?yàn)閤24x+|3xy|=4，所以　　x24x＋4＋|3xy|=0，　　即 (x2)2+|3xy|=0．　　　　所以 yx=62=36．　　例9 未知數(shù)x，y滿(mǎn)足　　(x2＋y2)m22y(x+n)m+y2+n2=0， 其中m，n表示非零已知數(shù)，求x，y的值．　　分析與解 兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，對(duì)方程左邊的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，經(jīng)過(guò)配方之后，看是否能化成非負(fù)數(shù)和為零的形式．　　將已知等式變形為　　m2x2+m2y22mxy2mny+y2+n2=0，　　(m2x22mxy+y2)+(m2y22mny+n2)=0，即 (mxy)2+(myn)2=0．　　　　　　　5．利用分式、根式的性質(zhì)求值　　分式與根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，內(nèi)容相當(dāng)豐富，因此設(shè)有專(zhuān)門(mén)講座介紹，這里只分別舉一個(gè)例子略做說(shuō)明．　　例10 已知xyzt=1，求下面代數(shù)式的值：　　　　分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用條件將某些項(xiàng)的形式變一變．　　解 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時(shí)乘以一個(gè)不為零的式子，分式的值不變．利用已知條件，可將前三個(gè)分式的分母變?yōu)榕c第四個(gè)相同．　　同理　　　　　　　　分析 計(jì)算時(shí)應(yīng)注意觀察式子的特點(diǎn)，若先分母有理化，計(jì)算反而復(fù)雜．因?yàn)檫@樣一來(lái)，原式的對(duì)稱(chēng)性就被破壞了．這里所言的對(duì)稱(chēng)性是分利用這種對(duì)稱(chēng)性，或稱(chēng)之為整齊性，來(lái)簡(jiǎn)化我們的計(jì)算．　　　　同樣(但請(qǐng)注意算術(shù)根！)　　　　將①，②代入原式有　　　　　練習(xí)六　　　　2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．　　3．已知ab+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．　　　　5．設(shè)a+b+c=3m，求(ma)3+(mb)3+(mc)33(ma)(mb)(mc)的值．　　　　　　　8．已知13x26xy+y24x+1=0，求(x+y)13n)+(12+22+…+202)．　　由前面計(jì)算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數(shù)，故ak+20=ak成立，…an…是一個(gè)有理數(shù)．練習(xí)三　　1．下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)？為什么？　　　　　　　　　　　5．設(shè)α，β為有理數(shù)，γ為無(wú)理數(shù)，若α+βγ=0，求證：α=β=0．　第四講 分式的化簡(jiǎn)與求值　　分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類(lèi)似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時(shí)才有意義；也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運(yùn)算中通分和約分的理論根據(jù)．在分式運(yùn)算中，主要是通過(guò)約分和通分來(lái)化簡(jiǎn)分式，從而對(duì)分式進(jìn)行求值．除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問(wèn)題得到迅速準(zhǔn)確的解答．本講主要介紹分式的化簡(jiǎn)與求值．　　例1 化簡(jiǎn)分式：　　分析 直接通分計(jì)算較繁，先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡(jiǎn)將簡(jiǎn)便得多．　　　　　　　 　　?。剑?2a+1)(a3)(3a+2)+(2a2)］　　　　　 　　　　　　 　　　說(shuō)明 本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫(xiě)成整式與真分式之和的形式．　　例2 求分式　　當(dāng)a=2時(shí)的值．　　分析與解 先化簡(jiǎn)再求值．直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式：　　a2b2=(a+b)(ab)，　　可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng)．　　　　　　　　例3 若abc=1，求　　分析 本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，但較復(fù)雜．下面介紹幾種簡(jiǎn)單的解法．　　解法1 因?yàn)閍bc=1，所以a，b，c都不為零．　　　　 　　　解法2 因?yàn)閍bc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．　　　　　　　　　　例4 化簡(jiǎn)分式：　　　分析與解 三個(gè)分式一齊通分運(yùn)算量大，可先將每個(gè)分式的分母分解因式，然后再化簡(jiǎn)．　　　　說(shuō)明　　　　互消掉的一對(duì)相反數(shù)，這種化簡(jiǎn)的方法叫“拆項(xiàng)相消”法，它是分式化簡(jiǎn)中常用的技巧．　　例5 化簡(jiǎn)計(jì)算(式中a，b，c兩兩不相等)：　　　似的，對(duì)于這個(gè)分式，顯然分母可以分解因式為(ab)(ac)，而分子又恰好湊成(ab)+(ac)，因此有下面的解法．　　解　　　　說(shuō)明 本例也是采取“拆項(xiàng)相消”法，所不同的是利用　　例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求　　　　分析 本題字母多，分式復(fù)雜．若把條件寫(xiě)成(xa)+(ya)+(za)=0，那么題目只與xa，ya，za有關(guān)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可用換元法求解．　　解 令xa=u，ya=v，za=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．　　由于x，y，z不全相等，所以u(píng)，v，w不全為零，所以u(píng)2+v2+w2≠0，從而有　　　　　說(shuō)明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母?jìng)€(gè)數(shù)，使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化．　　例7 化簡(jiǎn)分式：　　　　　　　　　　　　　　　適當(dāng)變形，化簡(jiǎn)分式后再計(jì)算求值．　　　　　　　(x4)2=3，即x28x+13＝0．　　原式分子=(x48x3+13x2)+(2x316x2+26x)+(x28x+13)+10　　　　　　=x2(x28x+13)+2x(x28x+13)+(x28x+13)+10　　　　　　=10，　　原式分母=(x28x+13)+2=2，　　　　說(shuō)明 本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類(lèi)型，應(yīng)用得當(dāng)會(huì)使問(wèn)題的求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化．　　　　解法1 利用比例的性質(zhì)解決分式問(wèn)題．　　(1)若a+b+c≠0，由等比定理有　　　　所以　　a+bc=c，ab+c=b，a+b+c=a，　　于是有　　　　(2)若a+b+c=0，則　　a+b=c，b+c=a，c+a=b，　　于是有　　 　　說(shuō)明 比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問(wèn)題時(shí)，靈活巧妙地使用，便于問(wèn)題的求解．　　解法2 設(shè)參數(shù)法．令　　　　則　　a+b=(k+1)c，①　　a+c=(k+1)b，②　　b+c=(k+1)a．③　?、?②+③有　　2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，　　所以 (a+b+c)(k1)=0，　　故有k=1或 a+b+c=0．　　當(dāng)k=1時(shí)，　　　　　　當(dāng)a+b+c=0時(shí)，　　說(shuō)明 引進(jìn)一個(gè)參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用．練習(xí)四　　1．化簡(jiǎn)分式：　　　　2．計(jì)算：　　　　3．已知：　　(yz)2+(zx)2+(xy)2　　=(x+y2z)2+(y+z2x)2+(z+x2y)2，　　　　　　的值．　　　　　　　　第五講 恒等式的證明　　代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識(shí)較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識(shí)與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．首先復(fù)習(xí)一下基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．　　兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式恒等．　　把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形．恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等．　　證明恒等式，沒(méi)有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問(wèn)題，采用不同的變形技巧，使證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)捷．一般可以把恒等式的證明分為兩類(lèi)：一類(lèi)是無(wú)附加條件的恒等式證明；另一類(lèi)是有附加條件的恒等式的證明．對(duì)于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡(jiǎn)化．下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．　　1．由繁到簡(jiǎn)和相向趨進(jìn)　　恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡(jiǎn)”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“