【正文】 足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)．　　例6 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)．　　分析 只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明．　　證 因?yàn)閍＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以　　　　　　說明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個數(shù)，或一個式子，以達(dá)到解題和證明的目的，是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法．　　例7 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且a＜b，問是否存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立？　　　　　　　　　　即　　　　由①，②有　　　　　　　存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立．　　b4+12b3+37b2+6b20　　的值．　　分析 因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題，往往是先估計(jì)它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法．　　14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．　　b4+12b3+37b2+6b20　　=(b4+2為：　　所以，原式有因式9x23x2．　　解 9x43x3+7x23x2　　　=9x43x32x2+9x23x2　　　=x2(9x33x2)+9x23x2　　　=(9x23x2)(x2+1)　　　=(3x+1)(3x2)(x2+1)　　說明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式　　可以化為9x23x2，這樣可以簡化分解過程．　　總之，對一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個一次因式(xa)，那么f(x)就可以分解為(xa)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進(jìn)行分解了．　　3．待定系數(shù)法　　待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用．　　在因式分解時，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．　　例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．　　分析 由于　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，　　若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決．　　解 設(shè)　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3　　=(x+2y+m)(x+y+n)　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，　　比較兩邊對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有　　解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．　　說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學(xué)們自己解一下．　　例5 分解因式：x42x327x244x+7．　　分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是177。9；2的約數(shù)有177。1，177。2，177。b)2；　　(3)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)；　　(4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)．　　下面再補(bǔ)充幾個常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；　　(7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+…+abn2+bn1)其中n為正整數(shù)；　　(8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2…+abn2bn1)，其中n為偶數(shù)；　　(9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2…abn2+bn1)，其中n為奇數(shù)．　　運(yùn)用公式法分解因式時，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．　　例1 分解因式：　　(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；　　(2)x38y3z36xyz；　　(3)a2+b2+c22bc+2ca2ab；　　(4)a7a5b2+a2b5b7．　　解 (1)原式=2xn1yn(x4n2x2ny2+y4)　　　　　　　=2xn1yn[(x2n)22x2ny2+(y2)2]　　　　　　　=2xn1yn(x2ny2)2 　　　　　　　=2xn1yn(xny)2(xn+y)2．　　(2)原式=x3+(2y)3+(z)33x(2y)(Z)　　　　　 =(x2yz)(x2+4y2+z2+2xy+xz2yz)．　　(3)原式=(a22ab+b2)+(2bc+2ca)+c2　　　　?。?ab)2+2c(ab)+c2　　　　　=(ab+c)2．　　本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：　　原式=a2+(b)2+c2+2(b)c+2ca+2a(b)　　　　=(ab+c)2　　(4)原式=(a7a5b2)+(a2b5b7)　　　　　 =a5(a2b2)+b5(a2b2)　　　　　 =(a2b2)(a5+b5)　　　　　 =(a+b)(ab)(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)　　　　　 =(a+b)2(ab)(a4a3b+a2b2ab3+b4)　　例2 分解因式：a3+b3+c33abc．　　本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．　　分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3　　的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)33ab(a+b)．　　這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)．　　解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc　　　　　 =［(a+b)3+c3］3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2c(a+b)+c2]3ab(a+b+c)　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)．　　說明 公式(6)是一個應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為　　a3+b3+c33abc　　　　　　　顯然，當(dāng)a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時，則a3+b3+c33abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立．　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有　　等號成立的充要條件是x=y=z．這也是一個常用的結(jié)論．　　例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．　　分析 這個多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式anbn來分解．　　解 因?yàn)椤　161=(x1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，　　所以　　　　說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x1)，再除以(x1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．　　2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法　　因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時，整理、化簡常將幾個同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對某些多項(xiàng)式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．　　例4 分解因式：x39x+8．　　分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．　　解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成1+9．　　原式=x39x1+9　　　　=(x31)9x+9　　　　=(x1)(x2+x+1)9(x1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　解法2 將一次項(xiàng)9x拆成x8x．　　原式=x3x8x+8　　　　=(x3x)+(8x+8)　　　　=x(x+1)(x1)8(x1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x38x3．　　原式=9x38x39x+8　　　　=(9x39x)+(8x3+8)　　　　=9x(x+1)(x1)8(x1)(x2+x+1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　解法4 添加兩項(xiàng)x2+x2．　　原式=x39x+8　　　　=x3x2+x29x+8　　　　=x2(x1)+(x8)(x1)　　　　=(x1)(x2+x8)．　　說明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種．　　例5 分解因式：　　(1)x9+x6+x33；　　(2)(m21)(n21)+4mn；　　(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；　　(4)a3bab3+a2+b2+1．　　解 (1)將3拆成111．　　原式=x9+x6+x3111　　　　=(x91)+(x61)+(x31)　　　　=(x31)(x6+x3+1)+(x31)(x3+1)+(x31)　　　　=(x31)(x6+2x3+3)　　　　=(x1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．　　(2)將4mn拆成2mn+2mn．　　原式=(m21)(n21)+2mn+2mn　　　　=m2n2m2n2+1+2mn+2mn　　　　=(m2n2+2mn+1)(m22mn+n2)　　　　=(mn+1)2(mn)2　　　　=(mn+mn+1)(mnm+n+1)．　　(3)將(x21)2拆成2(x21)2(x21)2．　　原式=(x+1)4+2(x21)2(x21)2+(x1)4　　　　=［(x+1)4+2(x+1)2(x1)2+(x1)4](x21)2　　　　=［(x+1)2+(x1)2]2(x21)2　　　　=(2x2+2)2(x21)2=(3x2+1)(x2+3)．　　(4)添加兩項(xiàng)+abab．　　原式=a3bab3+a2+b2+1+abab　　　　=(a3bab3)+(a2ab)+(ab+b2+1)　　　　=ab(a+b)(ab)+a(ab)+(ab+b2+1)　　　　=a(ab)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)　　　　=[a(ab)+1](ab+b2+1)　　　　=(a2ab+1)(b2+ab+1)．　　說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+abab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．　　3．換元法　　換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰．　　例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12．　　分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了．　　解 設(shè)x2+x=y，則　　原式=(y+1)(y+2)12=y2+3y10　　　　=(y2)(y+5)=(x2+x2)(x2+x+5)　　　　=(x1)(x+2)(x2+x+5)．　　說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試．　　例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90．　　分析 先將兩個括號內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合．　　解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)90　　　　　 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]90　　　　　 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)90．　　令y=2x2+5x+2，則　　原式=y(y+1)90=y2+y90　　　　=(y+10)(y9)　　　　=(2x2+5x+12)(2x2+5x7)　　　　=(2x2+5x+12)(2x+7)(x1)．　　說明 對多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)．　　例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　解 設(shè)x2+4x+8=y，則　　原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)　　　　=(x2+6x+8)(x2+5x+8)　　　　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．　　說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式．　　例9 分解因式：6x4+7x336x27x+6．　　解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x21)36x2　　　　　　　=6［(x42x2+1)+2x2］+7x(x21)36x2　　　　　　　=6[(x21)2+2x2]+7x(x21)36x2