【正文】 C＝40176。．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是　 ▲ ?。敬鸢浮?0176。通過構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的。若DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為 ▲ ．8. （2011貴州黔東南4分）順次連接一矩形場(chǎng)地ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)E、F、G、H，得到四邊形EFGH，M為邊EH的中點(diǎn)，點(diǎn)P為小明在對(duì)角線EG上走動(dòng)的位置，若AB=10米，BC=米，當(dāng)PM+PH的和為最小值時(shí)，EP的長(zhǎng)為 ▲ 。 D、60176。 B、47176。
5. （2011湖北恩施3分）將一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，如果∠α=43176。 C、40176。．則∠3等于 【 】A、100176。4. （2011湖南懷化3分）如圖，已知直線∥，∠1=40176。方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB＝ ▲ 度．2.（2012浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90176。練習(xí)題：1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖，C島在A島的北偏東45176。 （3）根據(jù)（1）可得出AE=AB，從而在Rt△ADE中，可判斷出∠AED為30176?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE，可得出結(jié)論。∴FG=。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30176?！郃E=AB=4?！帱c(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。（2）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N，∴ON⊥BC?！嗨倪呅蜛GEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG）?！唷螮FG=∠EGF。根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EG⊥DF?！痉治觥浚?）由已知，應(yīng)用AAS即可證明△ADE≌△BFE?！郋G⊥DF（等腰三角形三線合一）?！郍D=GF（等角對(duì)等邊）。 （2）EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF。 ∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE。（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由。∴當(dāng)n≥2時(shí)?！唷鰽ME的面積=△AMB的面積?！痉治觥窟B接BE，∵在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM。例6.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB=1時(shí)，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時(shí)，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，△AME的面積記為S3；…；當(dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ ?。敬鸢浮?。且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等。又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900?！痉治觥咳鐖D，連接AC，BD。 例5.（2012江蘇宿遷3分）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）【答案】矩形。由于四邊形EFGH是平行四邊形，它就不可能是梯形；同時(shí)由于是任意四邊形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，從而得不到矩形或菱形的判斷?！郋F=GH，EF∥GH?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，平行四邊形的判定?！逧G=CE=1，∴EF=21=2。+15176?！摺螦OE=15176。【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。例3.（2012廣東梅州3分）如圖，∠AOE=∠BOE=15176。 ∴。 ∵，∴∠3=1800－∠4?！究键c(diǎn)】平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)。故選A。=20176。∴∠3=∠ABC﹣∠4=45176。∴∠4=∠1=25176?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)B作BD∥l，∵直線l∥m，∴BD∥l∥m?！敬鸢浮緼。 C．30176。則∠2的度數(shù)為【 】A．20176。典型例題：例1. （2012湖北襄陽3分）如圖，直線l∥m，將含有45176。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。下面通過近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。在幾何題的證明或求解時(shí)，需要構(gòu)成一些基本圖形來求證（解）時(shí)往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。還要作個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。線段垂直平分線，常向兩端把線連。角平分線平行線，等腰三角形來添。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。輔助線，如何添？把握定理和概念。 專業(yè)資料分享 【2013年中考攻略】專題7：幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分復(fù)雜，若通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對(duì)新圖形的分析，原問題順利獲解。網(wǎng)絡(luò)上有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線加垂線，三線合一試試看。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。梯形里面作高線，平移一腰試試看。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。直接證明有困難，等量代換少麻煩。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來中間站。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果―――（1）構(gòu)造基本圖形；（2）構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法―――（8）基本輔助線；（9）截取和延長(zhǎng)變換；（10）對(duì)稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。一、構(gòu)造基本圖形：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表述。角的三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線m上，若∠1=25176。 B．25176。 D．35176?！究键c(diǎn)】平行線的性質(zhì)?！摺?=25176。∵∠ABC=45176。﹣25176?！唷?=∠3=20176。例2.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，【 】A. B. C. D.【答案】B?！痉治觥咳鐖D，反向延長(zhǎng)，形成∠4。 又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。故選B。EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=　 ▲ ．【答案】2?！痉治觥孔鱁G⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15176?！唷螮FG=15176。=30176。例4.（2012廣東佛山3分）依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)特殊圖形（可認(rèn)為是一般四邊形的性質(zhì)），則這個(gè)圖形一定是【 】 A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】 A?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，如右圖所示：連接AC，∵四邊形ABCD各邊中點(diǎn)是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC?！嗨倪呅蜤FGH是平行四邊形。 故選A?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定。 ∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴根據(jù)三角形中位線定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF?！嗨倪呅蜤FGH是矩形?！嗨倪呅蜤FGH不可能是菱形?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運(yùn)算?！唷鰽ME與△AMB同底等高?！喈?dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積為，當(dāng)AB=n－1時(shí)，△AME的面積為。例7.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BC邊上，且∠GDF=∠ADF?！敬鸢浮拷猓海?）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。理由如下： ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，∴∠GDF=∠BFE（等量代換）。 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）?！究键c(diǎn)】平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)。 （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，從而根據(jù)等角對(duì)等邊得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。例8.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴EF=EG=AG。又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形?！唿c(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，∴ON是梯形ABCE的中位線。（3）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2。在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30176?！唷！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。在Rt△EFO中求出FO，從而可得出FG的長(zhǎng)度。方向，在B島的北偏西25176。AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為　 ▲ ?。?.（2012江蘇南京8分）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（1）求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積?！?=60176。 B、60176。 D、20176。則∠β的度數(shù)是【 】 A、43176。 C、30176。6. （2011廣東茂名3分）如圖，兩條筆直的公路ll2相交于點(diǎn)O，村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村莊C到公路l1的距離為4公里，則村莊C到公路l2的距離是【 】 A、3公里 B、4公里 C、5公里 D、6公里7. （2011遼寧遼陽3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60176。9. （2011廣西玉林、防城港10分）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H．（1）求證：EB=GD；（2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的長(zhǎng)．10. （2011湖南衡陽10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接PD，過點(diǎn)P作PQ⊥PD，交直線BC于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)m=10時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合？若存在，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；（2）連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當(dāng)問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。典型例題：例1. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50176?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)。以及∠OBC＝∠OCB＝40176。∴BO＝CO?！螧AC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，∴∠OAB＝∠OAC＝25176。∴