【正文】 一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角， ∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。（三角形兩邊之和大于第三邊）（1） GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2） DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖11：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。九：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銎叫邢?，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。即切線與直徑互為輔助線。七：切線連直徑，直角與半圓。六：兩圓相切、離，連心，公切線?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒有中心。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。（5）兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。（3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用切線與半徑垂直這一性質(zhì)來(lái)證明問題。（1）見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。通過(guò)輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來(lái)解決，這是解決問題的關(guān)鍵。（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.梯形是一種特殊的四邊形。 方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。 方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。二．基本圖形的輔助線的畫法 方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。若平行線過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。 （6）全等三角形： 全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以添加軸對(duì)稱形全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱軸翻轉(zhuǎn)。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。 （3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形： 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。舉例如下： （1）平行線是個(gè)基本圖形： 當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的第三條直線 （2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形： 當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。 ③對(duì)于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有 過(guò)上底的兩端點(diǎn)向下底作垂線 過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一腰的平行線 過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對(duì)角線的平行線 過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線 過(guò)上底一端點(diǎn)和一腰中點(diǎn)的直線與下底的延長(zhǎng)線相交 作梯形的中位線 延長(zhǎng)兩腰使之相交 初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。 ②在比例線段證明中，常作平行線。還有一些關(guān)于平方的考慮勾股，A字形等。梯形1. 垂直于平行邊 2. 垂直于下底，延長(zhǎng)上底作一腰的平行線3. 平行于兩條斜邊4. 作兩條垂直于下底的垂線5. 延長(zhǎng)兩條斜邊做成一個(gè)三角形菱形1. 連接兩對(duì)角 2. 做高平行四邊形1. 垂直于平行邊 2. 作對(duì)角線——把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)三角形3. 做高——形內(nèi)形外都要注意矩形1. 對(duì)角線 2. 作垂線很簡(jiǎn)單。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。八、弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。二、垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線作輔助線的方法一、中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。線段垂直平分線，常向兩端把線連。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。 專業(yè)資料分享 初中幾何輔助線口訣三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線加垂線，三線合一試試看。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。梯形里面作高線，平移一腰試試看。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。直接證明有困難，等量代換少麻煩。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。三、邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒有中心。四、造角、平、相似，和、差、積、商見。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五、兩圓若相交，連心公共弦。六、兩圓相切、離，連心，公切線。七、切線連直徑，直角與半圓。即切線與直徑互為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。九、面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬龆噙呅?，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。具體技巧與輔助線添加等腰三角形1. 作底邊上的高，構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法； 2. 作一腰上的高； 3 .過(guò)底邊的一個(gè)端點(diǎn)作底邊的垂線，與另一腰的延長(zhǎng)線相交，構(gòu)成直角三角形。無(wú)論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD....這類的就是想辦法作出另一條AB等長(zhǎng)的線段，再證全等說(shuō)明AC+BD=另一條AB,就好了。解幾何題時(shí)如何畫輔助線?①見中點(diǎn)引中位線，見中線延長(zhǎng)一倍 在幾何題中，如果給出中點(diǎn)或中線，可以考慮過(guò)中點(diǎn)作中位線或把中線延長(zhǎng)一倍來(lái)解決相關(guān)問題。 作平行線時(shí)往往是保留結(jié)論中的一個(gè)比，然后通過(guò)一個(gè)中間比與結(jié)論中的另一個(gè)比聯(lián)系起來(lái)。一．添輔助線有二種情況： 1按定義添輔助線： 如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們,相交后證交角為90176。2按基本圖形添輔助線： 每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三角形。 （4）直角三角形斜邊上中線基本圖形 出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。 （5）三角形中位線基本圖形 幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線 （7）相似三角形： 相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。 （8）特殊角直角三角形 當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進(jìn)行證明 （9）半圓上的圓周角 出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。 方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。 平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來(lái)解決。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證