平面幾何輔助線添加技法總結(jié)報(bào)告與例題詳解-展示頁
2025-04-03 01:21本頁面
【正文】 到∠、D、B、P四點(diǎn)共圓,使證明很順暢.例2 如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAF＝∠：∠EBA＝∠ADE. 證明：如圖2,分別過點(diǎn)A、B作ED、EC的平行線,得交點(diǎn)P,連PE. 由AB CD,易知△PBA≌△PA＝ED,PB＝EC. 顯然,四邊形PBCE、 ∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE. 由∠BAF＝∠BCE,可知 ∠BAF＝∠BPE. 有P、B、A、E四點(diǎn)共圓. 于是,∠EBA＝∠APE. 所以,∠EBA＝∠ADE. 這里,通過添加平行線,使已知與未知中的四個(gè)角通過P、B、A、E四點(diǎn)共圓,緊密聯(lián)系起來.∠APE成為∠EBA與∠ADE相等的媒介,證法很巧妙.2 為了改變線段的位置利用“平行線間距離相等”、“夾在平行線間的平行線段相等”這兩條,?？赏ㄟ^添加平行線,將某些線段“送”到恰當(dāng)位置,以證題.例3 在△ABC中,BD、CE為角平分線,、AB、BC的垂線,M、N、：PM＋PN＝PQ.證明：如圖3,過點(diǎn)P作AB的平行線交BD于F,過點(diǎn)F作BC的平行線分別交PQ、AC于K、G,連PG. 由BD平行∠ABC,可知點(diǎn)F到AB、BC＝PN. 顯然,＝＝,可知PG∥EC. 由CE平分∠BCA,知GP平分∠＝, PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ. 這里,通過添加平行線,將PQ“掐開”成兩段,證得PM＝PK,就有PM＋PN＝.3 為了線段比的轉(zhuǎn)化 由于“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊,所得對應(yīng)線段成比例”,在一些問題中,可以通過添加平行線,.例4 設(shè)MM2是△ABC的BC邊上的點(diǎn),且BM1＝、AC、AMAM2于P、Q、N：＋＝＋.證明：如圖4,若PQ∥BC,易證結(jié)論成立. 若PQ與BC不平行,設(shè)PQ交直線BCE. 由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋M2E,易知 ＝,＝, ＝,＝.則＋＝＝＝＋.所以,＋＝＋. 這里,僅僅添加了一條平行線,將求證式中的四個(gè)線段比“通分”,使公分母為DE,于是問題迎刃而解.例5 AD是△ABC的高線,K為AD上一點(diǎn),BK交AC于E,：∠FDA＝∠EDA.證明：如圖5,過點(diǎn)A作BC的平行線,分別交直線DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M. 顯然,＝＝.有BDAM＝DC.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求證：AD2＝(AB2＋AC2).證明：如圖6,過點(diǎn)B作AC的平行線交ND. 由BD＝DC,可知ED＝△BED≌△CND. 于是,BE＝NC. 顯然, EM＝MN. 由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM為直角三角形,∠MBE＝90176。. 于是,∠BAC＝90176。HB, AD2＝AE2＝AG(HB－AG),或 (DB－AD)(HB－AG). 于是,DB－AD＝HB－AG,或 DB－HB＝AD－AG. 就是DH＝GD. 顯然,EG∥CD∥FH.
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