【正文】 ∠1－∠2∴∠A =2∠D規(guī)律17. 三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個(gè)內(nèi)角的一半.例：如圖，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB， 求證：∠BDC = 90o＋∠A證明：∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o ∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A① ∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2) ∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC② 把②式代入①式得 2(180o－∠BDC)= 180o－∠A 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A ∴∠BDC = 90o＋∠A規(guī)律18. 三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的銳角等于90o減去第三個(gè)內(nèi)角的一半.例：如圖，BD、CD分別平分∠EBC、∠FCB， 求證：∠BDC = 90o－∠A證明：∵BD、CD分別平分∠EBC、∠FCB∴∠EBC = 2∠∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB ① 2∠2 =∠A＋∠ABC ②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o－(90o＋∠A)∴∠BDC = 90o－∠A規(guī)律19. 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個(gè)角差（的絕對(duì)值）的一半.例：已知，如圖，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D， AE平分∠BAC.求證：∠EAD = (∠C－∠B)證明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o －∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC∴∠EAD = 〔180o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C) = 90o－(∠B＋∠C)－90o＋∠C = (∠C－∠B)如果把AD平移可以得到如下兩圖，F(xiàn)D⊥BC其它條件不變，結(jié)論為∠EFD = (∠C－∠B).注意：同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過(guò)解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力.，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC證法（一）：延長(zhǎng)BD交AC于E，∵∠BDC是△EDC 的外角，∴∠BDC＞∠DEC同理：∠DEC＞∠BAC∴∠BDC＞∠BAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長(zhǎng)交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF＞∠BAD同理∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC，構(gòu)造全等三角形. 例：已知，如圖，AD為△ABC的中線且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：在DA上截取DN = DB，連結(jié)NE、NF，則DN = DC 在△BDE和△NDE中，DN = DB∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE≌△NDE∴BE = NE同理可證：CF = NF在△EFN中，EN＋FN＞EF∴BE＋CF＞EF規(guī)律22. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：延長(zhǎng)ED到M，使DM = DE，連結(jié)CM、FM△BDE和△CDM中， BD = CD∠1 = ∠5ED = MD∴△BDE≌△CDM∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o∴∠3 ＋∠2 = 90o即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF和△MDF中ED = MD∠FDM = ∠EDFDF = DF∴△EDF≌△MDF∴EF = MF∵在△CMF中，CF＋CM ＞MFBE＋CF＞EF（此題也可加倍FD，證法同上）規(guī)律23. 在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE = AD，連結(jié)BE∵AD為△ABC的中線∴BD = CD在△ACD和△EBD中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD≌△EBD∵△ABE中有AB＋BE＞AE∴AB＋AC＞2AD截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：①a＞b②a177。b = c③a177。d例：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：AB－AC＞PB－PC證明：⑴截長(zhǎng)法：在AB上截取AN = AC，連結(jié)PN在△APN和△APC中，AN = AC∠1 = ∠2AP = AP∴△APN≌△APC∴PC = PN∵△BPN中有PB－PC＜BN∴PB－PC＜AB－AC⑵補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC至M，使AM = AB，連結(jié)PM在△ABP和△AMP中AB = AM ∠1 = ∠2AP = AP∴△ABP≌△AMP∴PB = PM又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC∴AB－AC＞PB－PC練習(xí)：，在△ABC中，∠B = 60o,AD、CE是△ABC的角平分線,并且它們交于點(diǎn)O求證：AC = AE＋CD，如圖，AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求證：BC = AB＋CD ：①觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于E求證：BD = 2CE證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于F∵BE⊥CF∴∠BEF =∠BEC = 90o在△BEF和△BEC中∠1 = ∠2 BE = BE∠BEF =∠BEC∴△BEF≌△BEC∴CE = FE =CF∵∠BAC = 90o , BE⊥CF∴∠BAC = ∠CAF = 90o ∠1＋∠BDA = 90o∠1＋∠BFC = 90o∠BDA = ∠BFC在△ABD和△ACF中∠BAC = ∠CAF∠BDA = ∠BFCAB = AC∴△ABD≌△ACF∴BD = CF∴BD = 2CE練習(xí)：已知，如圖，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，求證：AB－AC = 2CD，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求證：∠A = ∠D證明：（連結(jié)BC，過(guò)程略），可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB = DC，∠A = ∠D 求證：∠ABC = ∠DCB 證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M，連結(jié)NB、NM、NC（過(guò)程略），常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，∠1 = ∠2 ，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求證：∠BAP＋∠BCP = 180o證明：過(guò)P作PE⊥BA于E∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD在Rt△BPE和Rt△BPD中BP = BPPE = PD∴Rt△BPE≌Rt△BPD∴BE = BD∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE∴AE = CD∵PE⊥BE，PD⊥BC∠PEB =∠PDC = 90o在△PEA和△PDC中PE = PD∠PEB =∠PDCAE =CD∴△PEA≌△PDC∴∠PCB = ∠EAP∵∠BAP＋∠EAP = 180o∴∠BAP＋∠BCP = 180o練習(xí)：，如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線2. 已知，如圖，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20o，CE是∠ACB的平分線，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD = 20o，求∠CED的度數(shù)。解法三：以BC為一邊作等邊三角形△BCE，連結(jié)AE,則EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o∵EB = EC∴E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上∴EA所在的直線是BC的中垂線∴EA⊥BC∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB由解法一知：∠ABC = 50o∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB∴△ABE≌△PBC∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，求證：AB＋BD = AC證明：延長(zhǎng)AB到E，使BE = BD，連結(jié)DE則∠BED = ∠BDE∵∠ABD =∠E＋∠BDE∴∠ABC =2∠E∵∠ABC = 2∠C∴∠E = ∠C 在△AED和△ACD中∠E = ∠C∠1 = ∠2AD = AD∴△AED≌△ACD∴AC = AE∵AE = AB＋BE∴AC = AB＋BE