【正文】 AE證明：連結(jié)BE∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1∴∠3 =∠2∵四邊形ACBE為圓內(nèi)接四邊形∴∠ACD =∠E∴△ABE∽△ADC∴∴ABBD=ACcos60o = 8= 4（海里）CD = BCBD即S梯形ABCD = ACBDS△BCD = CO練習(xí)：已知，如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，BF平分∠CBE交CD于F求證：BE = CF＋AE，常把這條線(xiàn)段延長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形.例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)求證：AP = AB 證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于K∵四邊形ABCD為正方形∴BC = AB = CD = DA ∠BCD =∠D =∠BAD = 90o ∵E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)∴CE = CD DF = AF = AD∴CE = DF∴△BCE≌△CDF∴∠CBE =∠DCF ∵∠BCF＋∠DCF = 90o ∴∠BCF＋∠CBE = 90o∴BE⊥CF又∵∠D =∠DAK = 90o DF = AF ∠1 =∠2∴△CDF≌△KAF∴CD = KA∴BA = KA又∵BE⊥CF∴AP = AB練習(xí)：如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ = QC，P在BC上，且AP = CD＋CP求證：AQ平分∠DAP，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7求∠B的度數(shù)解：過(guò)A作AE∥CD交BC于E，則四邊形AECD為平行四邊形∴AD = EC， CD = AE∵AB = CD = 4, AD = 3, BC = 7 ∴BE = AE = AB = 4∴△ABE為等邊三角形∴∠B = 60o ，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形.例：已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O求證：CO = CD證明：過(guò)A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F則四邊形AEFD為矩形∴AE = DF∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90o，∴AE = BE = CE =BC，∠ACB = 45o ∵BC = BD∴AE = DF = BD又∵DF⊥BC∴∠DBC = 30o∵BD = BC∴∠BDC =∠BCD = (180o－∠DBC)= 75o∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75o∴∠BDC =∠DOC∴CO = CD，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于E求DE的長(zhǎng).解：過(guò)D作DF∥AC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，則四邊形ACFD為平行四邊形∴AC = DF， AD = CF∵四邊形ABCD為等腰梯形∴AC = DB∴BD = FD∵DE⊥BC ∴BE = EF =BF=(BC＋CF) =(BC＋AD)=10 = 5∵AC∥DF，BD⊥AC∴BD⊥DF∵BE = FE∴DE = BE = EF = BF = 5答：DE的長(zhǎng)為5.，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.例：已知，如圖，在四邊形ABCD中，有AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC求證：四邊形ABCD等腰梯形證明：延長(zhǎng)BA、CD，它們交于點(diǎn)E∵∠B =∠C∴EB = EC又∵AB = DC∴AE =DE ∴∠EAD =∠EDA∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180o ∠B＋∠C＋∠E = 180o ∴∠EAD =∠B∴AD∥BC∵AD≠BC，∠B =∠C∴四邊形ABCD等腰梯形（此題還可以過(guò)一頂點(diǎn)作AB或CD的平行線(xiàn)；也可以過(guò)A、D作BC的垂線(xiàn)），常過(guò)此中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形.例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD中點(diǎn)，EF⊥AB于F求證：S梯形ABCD = EF可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E求證：BD = 2CE證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于F∵BE⊥CF∴∠BEF =∠BEC = 90o在△BEF和△BEC中∠1 = ∠2 BE = BE∠BEF =∠BEC∴△BEF≌△BEC∴CE = FE =CF∵∠BAC = 90o , BE⊥CF∴∠BAC = ∠CAF = 90o ∠1＋∠BDA = 90o∠1＋∠BFC = 90o∠BDA = ∠BFC在△ABD和△ACF中∠BAC = ∠CAF∠BDA = ∠BFCAB = AC∴△ABD≌△ACF∴BD = CF∴BD = 2CE練習(xí)：已知，如圖，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，求證：AB－AC = 2CD，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求證：∠A = ∠D證明：（連結(jié)BC，過(guò)程略），可取某條線(xiàn)段中點(diǎn)，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB = DC，∠A = ∠D 求證：∠ABC = ∠DCB 證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M，連結(jié)NB、NM、NC（過(guò)程略），常過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角兩邊做垂線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，∠1 = ∠2 ，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，求證：∠BAP＋∠BCP = 180o證明：過(guò)P作PE⊥BA于E∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 ∴PE = PD在Rt△BPE和Rt△BPD中BP = BPPE = PD∴Rt△BPE≌Rt△BPD∴BE = BD∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE∴AE = CD∵PE⊥BE，PD⊥BC∠PEB =∠PDC = 90o在△PEA和△PDC中PE = PD∠PEB =∠PDCAE =CD∴△PEA≌△PDC∴∠PCB = ∠EAP∵∠BAP＋∠EAP = 180o∴∠BAP＋∠BCP = 180o練習(xí)：，如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線(xiàn)，它們交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求證：BP為∠MBN的平分線(xiàn)2. 已知，如圖，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20o，CE是∠ACB的平分線(xiàn)，D是AC上一點(diǎn)，若∠CBD = 20o，求∠CED的度數(shù)。b = c③a177。b = c177。⑴作頂角的平分線(xiàn)，底邊中線(xiàn)，底邊高線(xiàn)例：已知，如圖，AB = AC，BD⊥AC于D，求證：∠BAC = 2∠DBC證明：（方法一）作∠BAC的平分線(xiàn)AE，交BC于E，則∠1 = ∠2 = ∠BAC又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）過(guò)A作AE⊥BC于E（過(guò)程略）（方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過(guò)程略）⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線(xiàn)例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：DE = DF證明：連結(jié)AD.∵D為BC中點(diǎn)，∴BD = CD又∵AB =AC∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE = DF⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，在BA延長(zhǎng)線(xiàn)和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE = AF，求證：EF⊥BC證明：延長(zhǎng)BE到N，使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o∴∠BCA＋∠ACN = 90o即∠BCN = 90o∴NC⊥BC∵AE = AF∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC∴∠AEF = ∠ANC∴EF∥NC∴EF⊥BC⑷常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線(xiàn)例：已知，如圖，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過(guò)D作DN∥AE，交BC于N，則∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，∵AB = AC，∴∠B = ∠ACB∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF和△ECF中∠1 = ∠2∠NDF =∠EDN = EC ∴△DNF≌△ECF∴DF = EF（證法二）過(guò)E作EM∥AB交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于M,則∠EMB =∠B（過(guò)程略）⑸常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線(xiàn)例：已知，如圖，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AD = AE，連結(jié)DE求證：DE⊥BC證明：（證法一）過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，則∠AFE =∠B∠AEF =∠C∵AB = AC∴∠B =∠C∴∠AFE =∠AEF∵AD = AE∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o∴2∠AEF＋2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（證法二）過(guò)點(diǎn)D作DN∥BC交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，（過(guò)程略）（證法三）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC交DE于M，（過(guò)程略）⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形等邊三角形例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC =