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初中幾何輔助線大全最全-展示頁

2024-08-18 01:15本頁面
  

【正文】 奧妙!例3. 如圖3,BD:DC=1:3,AE:EB=2:3,求AF:FD。巧求三角形中線段的比值例1. 如圖1,在△ABC中,BD:DC=1:3,AE:ED=2:3,求AF:FC。證明:取AD,BC的中點(diǎn)N、M,連接NB,NM,NC。下面只需證∠NBC=∠NCB,再取BC的中點(diǎn)M,連接MN,則由SSS公理有△NBM≌△NCM,所以∠NBC=∠NCB。例如:如圖111:AB=DC,∠A=∠D 求證:∠ABC=∠DCB。∠1+∠BFC=90176。 BE⊥CF (已知) ∴∠BAC=∠CAF=90176。 ∵BE⊥CF (已知) ∴∠BEF=∠BEC=90176。求證:BD=2CE 分析:要證BD=2CE,想到要構(gòu)造線段2CE,同時(shí)CE與∠ABC的平分線垂直,想到要將其延長。例如:如圖91:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90176。)二 、連接四邊形的對(duì)角線,把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。 (垂直的定義) 在△DBE與△CAE中 ∵ ∴△DBE≌△CAE (AAS) ∴ED=EC EB=EA (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) ∴ED-EA=EC-EB 即:AD=BC。 專業(yè)資料分享 三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長已知邊構(gòu)造三角形:例如:如圖71:已知AC=BD,AD⊥AC于A ,BC⊥BD于B, 求證:AD=BC分析:欲證 AD=BC,先證分別含有AD,BC的三角形全等,有幾種方案:△ADC與△BCD,△AOD與△BOC,△ABD與△BAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件,均無法證全等,差角的相等,因此可設(shè)法作出新的角,且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明:分別延長DA,CB,它們的延長交于E點(diǎn), ∵AD⊥AC BC⊥BD (已知) ∴∠CAE=∠DBE =90176。(當(dāng)條件不足時(shí),可通過添加輔助線得出新的條件,為證題創(chuàng)造條件。三、有和角平分線垂直的線段時(shí),通常把這條線段延長?!?=∠2,CE⊥BD的延長于E 。 證明:分別延長BA,CE交于點(diǎn)F。 (垂直的定義)在△BEF與△BEC中, ∵ ∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE=FE=CF (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) ∵∠BAC=90176。 ∠1+∠BDA=90176。 ∴∠BDA=∠BFC在△ABD與△ACF中 ∴△ABD≌△ACF (AAS)∴BD=CF (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等) ∴BD=2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。分析:由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接NB,NC,再由SAS公理有△ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。問題得證。則AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN中 ∵ ∴△ABN≌△DCN (SAS) ∴∠ABN=∠DCN NB=NC (全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等)在△NBM與△NCM中 ∵∴△NMB≌△NCM,(SSS) ∴∠NBC=∠NCB (全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∴∠NBC+∠ABN =∠NCB+∠DCN 即∠ABC=∠DCB。解:過點(diǎn)D作DG//AC,交BF于點(diǎn)G 所以DG:FC=BD:BC因?yàn)锽D:DC=1:3 所以BD:BC=1:4 即DG:FC=1:4,F(xiàn)C=4DG因?yàn)镈G:AF=DE:AE 又因?yàn)锳E:ED=2:3 所以DG:AF=3:2即 所以AF:FC=:4DG=1:6例2. 如圖2,BC=CD,AF=FC,求EF:FD解:過點(diǎn)C作CG//DE交AB于點(diǎn)G,則有EF:GC=AF:AC因?yàn)锳F=FC 所以AF:AC=1:2 即EF:GC=1:2, 因?yàn)镃G:DE=BC:BD 又因?yàn)锽C=CD所以BC:BD=1:2 CG:DE=1:2 即DE=2GC因?yàn)镕D=ED-EF= 所以EF:FD=小結(jié):以上兩例中,輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處,且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。解:過點(diǎn)B作BG//AD,交CE延長線于點(diǎn)G。解:過點(diǎn)D作DG//CE,交AB于點(diǎn)G所以EF:DG=AF:AD因?yàn)锳F=FD 所以AF:AD=1:2 圖4即EF:DG=1:2 因?yàn)镈G:CE=BD:BC,又因?yàn)锽D:CD=1:3, 所以BD:BC=1:4即DG:CE=1:4,CE=4DG因?yàn)镕C=CE-EF=所以EF:FC==1:7練習(xí):1. 如圖5,BD=DC,AE:ED=1:5,求AF:FB。 答案:1:10; 2. 9:1二 由角平分線想到的輔助線圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線具有兩條性質(zhì):a、對(duì)稱性;b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。①從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線;②利用角平分線,構(gòu)造對(duì)稱圖形(如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊)。至于選取哪種方法,要結(jié)合題目圖形和已知條件。分析:此題中就涉及到角平分線,可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形,即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形,同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題,在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明,延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。例2. 已知:如圖13,AB=2AC,∠BAD=∠CAD,DA=DB,求證DC⊥AC分析:此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。其它問題自已證明。用到的是截取法來證明的,在長的線段上截取短的線段,來證明。例1. 如圖21,已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。分析:可由C向∠BAD的兩邊作垂線。例2. 如圖22,在△ABC中,∠A=90求證:BC=AB+AD分析:過D作DE⊥BC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出全等三角形,從而得證。例3. 已知如圖23,△AB
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