【正文】 ∵在△PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴ABACPBPC。例如：已知如圖61：在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P為AD上任一點求證：ABACPBPC。注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。分析：要證BE+CFEF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個三角形中。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖21：已知D為△ABC內(nèi)的任一點，求證：∠BDC∠BAC。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例 已知如圖11：D、E為△ABC內(nèi)兩點,求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+ANMD+DE+NE。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補(bǔ)短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+ADABCD三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。CAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACABDC12 3．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60176。練習(xí)：1. 已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。例5 如圖，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。如圖41和圖42所示。2． 已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。例3．已知：如圖33在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。AD為∠ABC的平分線，CE⊥：BD=2CE。問題可證。例1． 已知：如圖31，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中點。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證：AF=AD+CF。3．已知：如圖25, ∠BAC=∠CAD,ABAD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12．已知在△ABC中，∠C=90分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。例3． 已知如圖23，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。例2． 如圖22，在△ABC中，∠A=90分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。例1． 如圖21，已知ABAD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：BD+CDAB+AC。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)1． 已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3． 已知：在△ABC中，ABAC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點。例3． 已知：如圖14，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：ABAC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。自已試一試。另外一個全等自已證明。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。如圖11，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。角平分線加垂線，三線合一試試看。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。注意點輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。若是添上連心線，切點肯定在上面。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。斜邊上面作高線，比例中項一大片。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。上述方法不奏效，過腰中點全等造。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。三角形中兩中點，連接則成中位線。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。角平分線加垂線，三線合一試試看。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。 答案：1：10； 2. 9：1初中幾何輔助線一 初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。解：過點D作DG//CE，交AB于點G所以EF：DG＝AF：AD因為AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 圖4即EF：DG＝1：2 因為DG：CE＝BD：BC，又因為BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因為FC＝CE－EF＝所以EF：FC＝＝1：7練習(xí)：1. 如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。解：過點B作BG//AD，交CE延長線于點G。解：過點D作DG//AC，交BF于點G 所以DG：FC＝BD：BC因為BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG因為DG：AF＝DE：AE 又因為AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2. 如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：過點C作CG//DE交AB于點G，則有EF：GC＝AF：AC因為AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2， 因為CG：DE＝BC：BD 又因為BC＝CD所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC因為FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。則AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵ ∴△ABN≌△DCN （SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在△NBM與△NCM中 ∵∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形對應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。問題得證。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。證明：連接BC，在△ABC和△DCB中 ∵ ∴△ABC≌△DCB (SSS) ∴∠A＝∠D (全等三角形對應(yīng)邊相等)十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：已知：如圖101；AC、BD相交于O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。∠1＋∠BFC＝90176。 BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90176。 ∵BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90176。求證：BD＝2CE 分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。例如：如圖91：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90176。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。）八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。 （垂直的定義） 在△DBE與△CAE中 ∵ ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形對應(yīng)邊相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。七、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖71：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求證：AD＝BC分析：欲證 AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。例如：已知如圖61：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖52， 求證EF＝2AD。分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。在△EDF和△MDF中 ∵ ∴△EDF≌△MDF （SAS） ∴EF＝MF （全等三角形對應(yīng)邊相等） ∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊） ∴BE＋CF＞EF注：上題也可加倍FD，證法同上。即：∠EDF＝90176。在△BDE和△CDM中，∵ ∴△BDE≌△CDM （SAS） 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180176。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，在△DBE和△DNE中：∵∴△DBE≌△DNE （SAS）∴BE＝NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖31：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法