【正文】 ：AC∥BD；（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（176?！痉治觥俊逤M＝DM，HN＝2NE，∴CM＝CD，HN＝HE＝CD，又∵△PCM∽△PHN，∴，即PH＝2CH＝2CD。例5. （2011山東淄博4分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則tan∠NPH的值為 ▲ ．【答案】。∴。又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，∴Rt△DFG∽R(shí)t△ACH，∴，即，]解得。∵DG⊥AC，EF⊥AC，∴DG∥EF，∴，即，解得。【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）。將代入，并化簡(jiǎn)，得?！?。∴?！唷螮PC′=∠QC′A。∴∠PC′E+∠EPC′=90176。 （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案。OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30176?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！啵?＜t＜11）?！?。又∵∠OBP=∠C=90176?！摺螧OP+∠OPB=90176?！摺螼PB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180176。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。BP=t，得OP=2t。OB=6?！郋F=2EO=?！咴赗t△ABC中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=，∴CO=?！逴A=OC，∴OE=OF，即EF=2OE?！唷鰽OE∽△COF?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠D=∠B=90176。【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；．【分析】連接EC，AC、EF相交于點(diǎn)O。故選A?！郆D=BF+EF+ED=12+2。CF=4，∴CE=2，EF=4cos30176。【分析】延長(zhǎng)AC交BF延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，則∠CFE=30176。典型例題：例1. （2012廣東深圳3分）小明想測(cè)量一棵樹(shù)的高度，他發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子恰好落在地面和一斜坡上；如圖，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為8米，坡面上的影長(zhǎng)為4米．已知斜坡的坡角為300，同一時(shí) 刻，一根長(zhǎng)為l米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長(zhǎng)為2米，則樹(shù)的高度為【 】 D．10米【答案】A。（2） 圖⑥中的△GCC39。（1） 求圖②中∠BCB39。 展平, 得折痕GC39。 沿GC39。 沿GH折疊, 使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C39。 處(如圖②)。則四邊形ABCD的面積等于_ ▲ cm2．5. （2011江蘇徐州6分）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進(jìn)行折疊: 對(duì)折、展平, 得折痕EF(如圖①)。沿AD折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD=　 ▲ 　．2. （2011湖北恩施3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為 【 】A、11 B、 C、7 D、3. （2011湖北隨州4分）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40176。（2）根據(jù)已知條件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判斷出OA是∠BAC的平分線，即OA⊥BC。又∵AB=AC，∴OA⊥BC?！唷螪AO=∠EAO?！郃D=AE。例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O．（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】解：（1）證明：在△ACD與△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90176?！郤1＝S2＝S3＝S△ABC。【分析】過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥MN交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q； 過(guò)點(diǎn)E作ER⊥GF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R。AC＞BC，分別以AB、BC、CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為SSS3，則下列結(jié)論正確的是【 】A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1【答案】A。BC＝16。AC＝ACAC＝DE＝16，又S△ADE＝從而S△ADE＝sin30186。因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30186。則知△ACD≌△ACB，從而由已知得∠CAD＝∠A＝15186?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。AB＝8，則AC例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90186。因此，△PDH的周長(zhǎng)=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案?！?，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6?！唷B=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）?！唷螮FM=∠ABP。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP?！唷鱌HD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。又∵AB=BC，∴BC=BQ。BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）。證明如下：如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q?！唷螦PB=∠BPH。∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。故選D。∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2?！逨是BD中點(diǎn)，∴EF是△DHB的中位線?！唷鱀CE≌△HAE（AAS）?！痉治觥窟B接DE并延長(zhǎng)交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。例2. （2012山東泰安3分）如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長(zhǎng)是【 】　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1【答案】D。方向，且與O相距千米的A處；經(jīng)過(guò)40分鐘，又測(cè)得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）四、構(gòu)造全等三角形：通過(guò)構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的?！?，176?！郑?76。方向，求此時(shí)貨輪與A觀測(cè)點(diǎn)之間的距離AC的長(zhǎng)()．(參考數(shù)據(jù)：176。∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)是 ▲ ，cosA的值是 ▲ ．(結(jié)果保留根號(hào))6.（2012陜西省8分）如圖，小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與岸上的涼亭間的距離，他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向正東方向走了100米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東方向（點(diǎn)A、B、C在同一水平面上）．請(qǐng)你利用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）7.（2012江蘇連云港10分）176?！?3.（2012湖北襄陽(yáng)3分）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，李明利用一根栓有小錘的細(xì)線和一個(gè)半圓形量角器制作了一個(gè)測(cè)角儀，去測(cè)量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD．如圖，已知小明距假山的水平距離BD為12m，李明的視線經(jīng)過(guò)量角器零刻度線OA和假山的最高點(diǎn)C，此時(shí)，鉛垂線OE經(jīng)過(guò)量角器的60176?！?，cos22186。時(shí)，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45186。tanA=，D是AC上一點(diǎn)，∠CBD=∠A，則sin∠ABD=【 】。半徑OA=6，即可求得扇形OAB的面積與 的長(zhǎng)，從而求得整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長(zhǎng)的扇形面積的計(jì)算。∴，∴整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)為：AC+CD+BD+==AC+OC+OB+=6+6+3π=12+3π。∵∠AOB=90176?！唷螪BO=60176。 根據(jù)折疊的性質(zhì)，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，∴OB=OD=BD。例7. （2012吉林省8分）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90176?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（方向角問(wèn)題），銳角三角函數(shù)。=，得PB=（米）。=200=100（米）。在Rt△PAD中，由cos30176?！?，≈，≈）【答案】解：作PD⊥AB于點(diǎn)D，由已知得PA=200米，∠APD=30176?！郑琧os37176。劃行200米到達(dá)A處，接著向正南方向劃行一段時(shí)間到達(dá)B處．在B處小亮觀測(cè)媽媽所在的P處在北偏西37176。解Rt△AOB，求出OA；解Rt△AOE，求出OE，即可得出雕塑最頂端到水平地面的垂直距離?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義。在Rt△AOE中，即，∴＋=≈（m）。 在Rt△AOB中，即， ∴。≈，cos46186?！?，sin62186。的斜坡AB上安裝一球形雕塑，其橫截面示意圖如圖所示．已知支架AC與斜坡AB的夾角為28186。所對(duì)邊等于斜邊的一半得出CD的長(zhǎng)，求出AC，AB的長(zhǎng)即可得出四邊形ABCD的面積?！?。BE=2，∴AB=AE=2。∵∠AEB=45176。又∵∠DCE=30176。例4.（2012北京市5分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積．【答案】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC，∵∠CED=45176。在Rt△CGN中，在Rt△MNG中，∴。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x?！逜M=CM，∴四邊形AMCN是菱形。∴AM=AN?！郈D=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。綜上所述，AC邊上的中線長(zhǎng)是或a?！唿c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴BE是△ACD的中位線?！郆D=AD=a?！咴赗t△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a。②△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2，BE為AC邊的中線。∴BF=a?！唿c(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位線。∴BD=AD=a?！咴赗t△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a。【分析】分兩種情況：①△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1，BE為AC邊的中線。角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長(zhǎng)是 ▲ ．【答案】或a。 (2)當(dāng)AB=4時(shí)，求此梯形的面積．三、構(gòu)造直角三角形：通過(guò)構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達(dá)到求證（解）的目的。5. （2011廣東河源9分） 如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。（1）求證：DE是半圓的切線；（2）連接OD，當(dāng)OC=BC時(shí)，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結(jié)論。練習(xí)題：1. （2011山東濰坊3分）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為 ▲ ．2. （2011遼寧遼陽(yáng)3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60176?！痉治觥浚?）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC=BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形?！嗨倪呅蜛BFC是矩形?！唷鰾DE∽△DEC。CE，∴?！郃C∥BF?！咛菪蜛BCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。例3.（2011上海12分）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE．聯(lián)結(jié)BF、CD、AC．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2＝BE而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等邊三角形，所以得到∠ACB=60176。由此可以證明EF∥DC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，由BF=EF，∠EFB=60176?！痉治觥浚?）由△ABC是等邊三角形得到∠B=60176?！郃E=AD?！唷螮BF=∠ACB?！摺鰽BC是等邊三角形，∴∠ACB=60176?！郋B=EF，∠EBF=60176?！連F=EF，∠EFB=60176。∵DC=EF，∴四邊形EFCD是平行四邊形?！唷螦BC=∠EFB。DC=EF．（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD．【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60176。2＝50176?！唿c(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。＝40176?！唷螼BC＝65176?！叩妊鰽BC中， AB＝AC，∠BAC＝50176。∵∠BAC＝50176。再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進(jìn)而求出即可：連接BO，∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線?！痉治觥坷萌热切蔚呐卸ㄒ约按怪逼椒志€的性質(zhì)得出∠OB