【正文】 解：如圖，連結OB、OC的圓O的半徑，已知∠OAB=500∵B是弧AC的中點∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB≌△BOC（） 圖2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800 500 500∴∠CBD=800答:∠CBD的度數(shù)是800.
。（10）對于圓的內(nèi)接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角三角形去解決。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構成圓內(nèi)接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結果。②如圖1（下）延長AO交圓于E，連結BE，BA，得Rt△ABE。（4）連結同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結果。AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長為（ ）A. 19 B. 20 C. 21 D. 223. 如圖所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為（ ）A. 130 B. 140 C. 150 D. 160*4. 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長. 5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60176。解：分別延長AE與BC ，并交于F點∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯角相等) ∠AED=∠FEC （對頂角相等）DE=EC （E點是CD的中點）∴△ADE≌△FCE （AAS） ∴ AE=FE在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE∴ BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBEABDCEF例1已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關系？解：AE=BE，理由如下：延長AE，與BC延長線交于點F．∵DE=CE，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F∴△ADE≌△FCE∴AE=EF∵AB⊥BC， ∴BE=AE．例1已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點，EF⊥AB于F點，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．解：如圖，過E點作MN∥AB，分別交AD的延長線于M點，交BC于N點．ABCDEFMN∵DE=EC，AD∥BC∴△DEM≌△CNE四邊形ABNM是平行四邊形∵EF⊥AB，∴S梯形ABCD=S□ABNM=ABEF=15cm2．【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1. 若等腰梯形的銳角是60176。證：連接DF，并延長交BC于點G，易證△AFD≌△CFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線從而EF//BG，且因為AD//BG，所以EF//AD，EF在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構造出兩個全等的三角形達到解題的目的。已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線。證：取AD的中點E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90176。例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點，∠AOD=90176。即BFCE。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因為ABCD，AE=DF。BE=1cm∴AB=2BE=2cm，∴例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，ABCD，求證：BDAC。作兩條高例1在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60176。從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。證：過點D作DG⊥AB于點G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。（四）、作梯形的高作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90176。又∠BAD=∠DEB=90176。解：連結BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC?！唷螮DC＝∠EAB，∴DC∥AB. 又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形. （三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉化為三角形。所以∠E=50176。在△BCE中，∠B=50176。AD=2，BC=5，求CD的長。例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50176。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。則△EGH是直角三角形因為E、F分別是AD、BC的中點，容易證得F是GH的中點所以平移對角線：例已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長線于E點．ABDCEH∵AD∥BC ∴四邊形ACED是平行四邊形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90176。AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。解：過點B作BM//AD交CD于點M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是：5－4BC5＋4，即1BC9。（一）、平移平移一腰：例1. 如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90176。作高，轉化為直角三角形和矩形。轉化為三角形、平行四邊形。常見的幾種輔助線的作法如下：作法圖形平移腰，轉化為三角形、平行四邊形。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上中位線。(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）．六 梯形的輔助線 口訣：梯形問題巧轉換，變?yōu)椤骱汀?。，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；中考應用（07佳木斯）已知四邊形中，繞點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．當繞點旋轉到時（如圖1），易證．當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明．（圖1）（圖2）（圖3）（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當∠APB=45176。（1） 當繞點D轉動時，求證DE=DF。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60176。ABAC＞PBPC中考應用（08海淀一模）（三）、平移變換△ABC的角平分線，直線MN⊥，△ABC周長記為，△＞.2：如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+ACAD+AE.（四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60176。AB＝AC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。三角形中常見輔助線的作法：①延長中線構造全等三角形；②利用翻折，構造全等三角形；③引平行線構造全等三角形；④作連線構造等腰三角形。DMCDEDADBD4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖52，求證EF=2AD。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，∠BAC=∠DAE=90176。練習：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點，求AD的取值范圍。例二：如圖51：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC2AD。在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對應邊相等）∵在△CMF中，CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CFEF上題也可加倍FD，證法同上。即：∠EDF=90176。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點定義）∠1=∠5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法）∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4=180176。例一：如圖41：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CFEF。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線?！唳BD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。故∠1=∠3?！唳EF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。求證：BD=2CE。（五）、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90176。證明：取AB的中點E，連結DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。求證：ΔABC是等腰三角形?！郆D===，故BC=2BD=2。在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。（三）、由中線應想到延長中線例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。求證：∠BGE=∠CHE?！唳DF的面積為。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。三角形中有中線，延長中線等中線。AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。DCBA求證：BC=AB+DC。例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108176。求證：AE=AD+BE。證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對應邊相等）∵在△BPN中，有PBPNBN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BPPCABAC證明：（補短法）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中AB=AM（輔助線作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB=PM（全等三角形對應邊相等）又