詳解十五道高中立體幾何典型易錯(cuò)題-展示頁
2025-04-03 12:05本頁面
【正文】 以通過確定側(cè)棱長，改變截面與底面成角而改變截面形狀．典型例題六例6 斜三棱柱中，平面底面，且．（1）求與平面所成角；（2）求平面與平面所成二面角的大?。唬?）求側(cè)棱到側(cè)面的距離．分析：按照一般思路，首先轉(zhuǎn)化條件中的面面垂直關(guān)系，由，取的中點(diǎn)，連，則有，從而有平面，在此基礎(chǔ)上，與底面所成角以及平面與底面所成二面角都能方便地找到，同時(shí)底面也為尋找點(diǎn)到面的垂線創(chuàng)造了條件．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，∵，∴，∵平面底面，∴底面，∴為與底面所成角．∵且，∴．（2）取中點(diǎn)，則，∵，∴，∴．連，∵底面，∴在平面上射影為，∴，∴為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．在等腰△中，∴．在△中，∴．在△中，∴，即側(cè)面與底面所成二面角的大小為．（3）過作于，∵底面，∴，∴平面，在△中，∴，∴，即到平面的距離為．說明：簡單的多面體是研究空間線面關(guān)系的載體，而線面垂直關(guān)系又是各種關(guān)系中最重要的關(guān)系，立體幾何中的證明與計(jì)算往往都與線面垂直發(fā)生聯(lián)系，所以在幾何體中發(fā)現(xiàn)并使用線面垂直關(guān)系往往是解題的關(guān)鍵．典型例題七例7 斜三棱柱的底面△是直角三角形，在底面上的射影恰好是的中點(diǎn)，側(cè)棱與底面成角，側(cè)面與側(cè)面所成角為，求斜棱柱的側(cè)面積與體積．分析：在底面上射影為中點(diǎn)，提供了線面垂直平面，另外又有，即，又可以得到平面，利用這兩個(gè)線面垂直關(guān)系，可以方便地找到條件中的線面角以及二面角的平面角．解：∵在底面上，射影為中點(diǎn)．∴平面．∴為側(cè)棱與底面所成角，即，∵，即，又，∴平面，過作于，連接，則．∴是側(cè)面與側(cè)面所成二面角的平面角，∴，在直角△中，∵，∴，在直角△中，∵，∴，在直角△中，∴，．∴側(cè)面積為．體積為．說明：本例中△是斜棱柱的一個(gè)截面，而且有側(cè)棱與該截面垂直，這個(gè)截面稱為斜棱柱的直截面，我們可以用這個(gè)截面把斜棱柱分成兩部分，并且用這兩部分拼湊在一個(gè)以該截面為底面的直棱柱，斜棱柱的側(cè)面積等于該截面周長乘以側(cè)棱長，體積為該截面面積乘以側(cè)棱長．典型例題八例8 如圖所示，在平行六面體中，已知，又．(1)求證：截面；(2)求對(duì)角面的面積．分析：(1)由題設(shè)易證，再只需證，即證．而由對(duì)稱性知，若，則，故不必證．(2)關(guān)鍵在于求對(duì)角面的高．證明：(1)∵，∴在中，由余弦定理，得．再由勾股定理的逆定理，得．同理可證：．∴平面．又，∴平面．解：(2)∵，∴平行四邊形為菱形．為的平分線．作∴平面于，由，知．作于，連，則．在中，在中，．在中，．又在中，由余弦定理，得．∴．說明：本題解答中用到了教材習(xí)題中的一個(gè)結(jié)論——經(jīng)過一個(gè)角的頂
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