20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)342-343圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的交-文庫吧資料
2024-11-24 23:21本頁面
【正文】 究四 探究五 探究六 【典型例題 5 】 已知橢圓 C :??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ), 直線 l1:?????????= 1 被橢圓C 截得的弦長為 2 2 , 過橢圓 C 的右焦點且斜率為 3 的直線 l2被橢圓 C 截得的弦長是橢圓長軸長的25, 求橢圓 C 的方程 . 思路分析 :由直線 l1方程的特點 ,知直線 l1恰好過橢圓的兩個頂點 ,即有a2+b2= 8 ,把直線 l2的方程代入橢圓方程 ,利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :由 l1被 C 截得的弦長為 2 2 ,得 a2+b2= 8 .① 設(shè) l2: y= 3 ( x c ), 代入橢圓 C 的方程并化簡 ,得 ( b2+ 3 a2) x2 6 a2cx+ a2( 3 c2 b2) = 0 . 設(shè)直線 l2與橢圓交于點 M ( x1, y1), N ( x2, y2) . 由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 x1+x2=6 ??2c??2+ 3 ??2, x1x2=??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2. 從而 |x1 x2|= ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2= 6 ??2c??2+ 3 ??2 24 ??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2=4 ?? ??2??2+ 3 ??2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 則由弦長公式 ,得 | MN | =4 ?? ??2??2+ 3 ??2 當(dāng) k ≠ 0 時 , Δ = 0 ? k=12. ∴ 直線方程為 x 2 y+ 2 = 0 . ∴ 直線方程有三條 ,分別為 x= 0 , y= 1 , x 2 y+ 2 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 點評 直線與拋物線的位置關(guān)系 ,主要用代數(shù)法 ,聯(lián)立方程組 ,利用Δ 判斷 .注意二次項系數(shù)為零的情況 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 弦長問題 若直線 l 與圓錐曲線 F ( x , y ) = 0 相交于 A , B 兩點 ,求弦 AB 的長可用下列兩種方法 : ( 1 ) 求交點法 把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立 ,解得點 A , B 的坐標 ,然后用兩點間距離公式 ,便得到弦 AB 的長 ,一般地說 ,這種方法較為麻煩 . ( 2 ) 根與系數(shù)的關(guān)系法 不求交點坐標 ,直接用根與系數(shù)的關(guān)系求解 . 直線 l : f ( x , y ) = 0 ,曲線 r : F ( x , y ) = 0 , l 與 r 的兩個不同的交點A , B , A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 ( x1, y1) , ( x2, y2) 是方程組 ?? ( ?? , ?? ) = 0 ,?? ( ?? , ?? ) = 0的兩組解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 方程組消元后化為關(guān)于 x ( 或者 y ) 的一元二次方程 Ax2+ B x + C = 0 ( A ≠ 0 ) . 判別式 Δ =B2 4 AC ,應(yīng)有 Δ 0 . 所以 x1, x2是方程 Ax2+ B x+ C = 0 的解 . 由根與系數(shù)的關(guān)系求出 x1+x2= ????, x1x2=????. 所以 A , B 兩點間距離為 | A B | = 1 + ??2|x1 x2|= 1 + ??2 1 或 k= 177。 1 時 ,方程 ( * ) 有兩個不同的實數(shù)解 。2 33時 ,方程 ( * ) 有兩個相同的實數(shù)解 。 1 時 , Δ = ( 2 k2)2 4 ( 1 k2) 1 時 ,直線 l 與雙曲線的漸近線平行 ,方程 ( * ) 可化為2 x= 5 ,故此時方程 ( * ) 只有一個實數(shù)解 。 ( 2 ) 直線 l 與雙曲線有兩個公共點 。直線與雙曲線有兩個公共點時 ,應(yīng)注意是在一支上有兩個交點 ,還是在兩支上各有一個交點 .主要是運用數(shù)形結(jié)合 ,判斷直線的斜率 k 存在與否及找出 k 與漸近線的斜率 177。 Δ 0 ,直線 l 與曲線 r 相離 . ( 2 ) 當(dāng) a= 0 時 ,即得到一個一次方程 ,則 l 與 r 相交 ,且只有一個交點 ,此時 ,若 r 為雙曲線 ,則直線 l 與雙曲線的漸近線平行 。 ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2= 1 +1??2|y1 y2|. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 圓錐曲線的共同特征 理解圓錐曲線的共同特征應(yīng)注意 : ( 1 ) 離心率 e 的范圍 :當(dāng) 0 e 1 時是橢圓 ,當(dāng) e 1 時是雙曲線 ,當(dāng) e= 1 時是拋物線 . ( 2 ) 定點與定直線的關(guān)系 :對于方程??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ), 定點 F1( c , 0 ) 對應(yīng)的定直線為 x= ??2??,定點 F2( c , 0 ) 對應(yīng)的定直線為 x=??2??,焦點在 y 軸上也有相應(yīng)的關(guān)系 .對于方程??2??2???2??2= 1 ( a 0 , b 0 ), 定點 F1( c , 0 ) 對應(yīng)的定直線為 x= ??2??,定點 F2( c , 0 ) 對應(yīng)的定直線為 x=??2??,焦點在 y 軸上也有相應(yīng)的關(guān)系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 1 】 曲線上的點 M ( x , y ) 到定點 F ( 10 , 0 ) 的距離和它到定直線 l : x=25的距離的比是常數(shù) 5 . 求曲線的方程 . 解 :設(shè) d 是點 M 到直線 l 的距離 ,根據(jù)題意 ,曲線上的點 M 滿足 :|?? ?? |??= 5 . 由此得 ( ?? 1 02) + ??2 25 x = 5 . 即有 ( ?? 10 )2+ ??2= 5 25 x , 將上式兩邊平方 ,并化簡得??24???296= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1 .直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法 : 判斷直線 l 與圓錐曲線 r 的位置關(guān)系時 ,通常將直線 l 的方程A x+ B y + C = 0 ( A , B 不同時為 0 ) 代入圓錐曲線 r 的方程 F ( x , y ) = 0 .消去 y ( 也可以消去 x ) 得到一個關(guān)于變量 x ( 或變量 y ) 的方程 ,即 ?? ?? + ?? ?? + ?? = 0 ,?? ( ?? , ?? ) = 0 ,消去y 得 ax2+ b x+ c= 0 . ( 1 ) 當(dāng) a ≠ 0 時 ,則有 Δ 0 ,直線 l 與曲線 r 相交 。當(dāng) Δ = 0 時 ,有一個公共點 。 ② 方程組有兩組解 ? 直線與拋物線相交 ( 2 個公共點 )。當(dāng)有兩組相同的實數(shù)解( Δ = 0 ) 時 ,直線與雙曲線相切 。 ② Δ = 0 ?
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