【正文】 線的位置關(guān)系 1 .直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法 : 判斷直線 l 與圓錐曲線 r 的位置關(guān)系時(shí) ,通常將直線 l 的方程A x+ B y + C = 0 ( A , B 不同時(shí)為 0 ) 代入圓錐曲線 r 的方程 F ( x , y ) = 0 .消去 y ( 也可以消去 x ) 得到一個(gè)關(guān)于變量 x ( 或變量 y ) 的方程 ,即 ?? ?? + ?? ?? + ?? = 0 ,?? ( ?? , ?? ) = 0 ,消去y 得 ax2+ b x+ c= 0 . ( 1 ) 當(dāng) a ≠ 0 時(shí) ,則有 Δ 0 ,直線 l 與曲線 r 相交 。 ② Δ = 0 ? 直線與橢圓相切 ? 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 。 因?yàn)辄c(diǎn) M 在曲線 C1上 , 所以它的坐標(biāo)滿足方程 f ( x , y ) = 0 , 因?yàn)辄c(diǎn) M 在曲線 C2上 , 所以它的坐標(biāo)也滿足方程g ( x , y ) = 0 . 從而 , 曲線 C1和 C2的任意一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程組 ?? ( ?? , ?? ) = 0 ,?? ( ?? , ?? ) = 0 .反過來 , 該方程組的任何一組實(shí)數(shù)解都對應(yīng)著這兩條曲線某一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo) . 1 2 溫馨提示 1 . 直線與橢圓的位置關(guān)系 ( 1 ) 位置關(guān)系 :相交、相切、相離 . ( 2 ) 判別方法 :通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組 ,對解的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論 .通常消去方程組中的一個(gè)變量 ,得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程 . ① Δ 0 ? 直線與橢圓相交 ? 有兩個(gè)公共點(diǎn) 。當(dāng) Δ 0 時(shí) ,無公共點(diǎn) .特別地 ,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí) ,首先要討論二次項(xiàng)系數(shù)為 0 和不為 0 兩種情況 ,然后再用判別式加以研究 . 思考 3 如何解決弦長問題 ? 提示 :連接圓錐曲線上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦 ,設(shè)弦 AB 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 直線的斜率為 k ,則 | A B | = 1 + ??2|x1 x2|= 1 + ??2 ( 3 ) 直線 l 與雙曲線沒有公共點(diǎn) . 思路分析 :在解決直線與雙曲線位置關(guān)系時(shí) ,對消元后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零應(yīng)分類討論 ,且要結(jié)合判別式討論 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :由 ??2 ??2= 4 ,?? = ?? ( ?? 1 ),消去 y ,整理 , 得 ( 1 k2) x2+ 2 k2x k2 4 = 0 . ( * ) ① 當(dāng) 1 k2= 0 ,即 k= 177。 當(dāng) 4 3 ??2 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 k 2 33或 k2 33時(shí) ,方程 ( * ) 無實(shí)數(shù)解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 綜上所述 , ( 1 ) 當(dāng) k= 177。 2103. 點(diǎn)評 涉及直線與圓錐曲線弦的有關(guān)問題時(shí) ,常將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立 ,消元后借助根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 中點(diǎn)弦問題 1 .關(guān)于弦中點(diǎn)問題常有兩種方法 : ( 1 ) 根與系數(shù)的關(guān)系法 若直線 l : y= kx+ b 與曲線 F ( x , y ) 相交于 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 聯(lián)立兩方程得一個(gè)關(guān)于 x ( 或 y ) 的一元二次方程 Ax2+ B x+ C = 0 ( A ≠ 0 ), 設(shè) M ( x0, y0) 是弦 AB 的中點(diǎn) ,則 ??0=??1+ ??22= ??2 ??,??0= k ??0+ b = ?? ??2 ??+ b . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ( 2 ) 點(diǎn)差法 ① AB 是橢圓??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) 的一條弦 ,中點(diǎn) M 坐標(biāo)為 ( x0, y0) .運(yùn)用點(diǎn)差法求 AB 的斜率 ,設(shè) A ( x1, y1), B ( x2, y2)( x1≠ 177。 ( 2 ) 直接由題設(shè)條件進(jìn)行推導(dǎo) ,常用到定點(diǎn)直線系、定點(diǎn)曲線系等知識 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 9 】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 , 已知雙曲線 C1: 2 x2 y2= 1 . 設(shè)橢圓 C2: 4 x2+y2= 1 . 若 M , N 分別是 C1, C2上的動點(diǎn) , 且 OM ⊥ ON , 求證 : O 到直線 MN 的距離是定值 . 證明 :當(dāng)直線 ON 垂直于 x 軸時(shí) , | ON | = 1 , | OM| = 22,則 O 到直線 MN 的距離為 33. 當(dāng)直線 ON 不垂直于 x 軸時(shí) ,設(shè)直線 ON 的方程為 y= kx 顯然 |?? | 22 , 則直線 OM 的方程為 y= 1??x. 由 ?? = ?? ?? ,4 ??2+ ??2= 1得 ??2=14 + ??2,??2=??24 + ??2, 所以 | ON |2=1 + ??24 + ??2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 同理可得 | OM|2=1 + ??22 ??2 1. 設(shè) O 到直線 MN 的距離為 d. 在 Rt △ MON 中 ,( | OM|2+ | ON |2) d2= | OM|2 4 ,然后求直線 l 與 3x 2y 16=0 的距離即得所求的最大值 . 答案 :24 1313 1 2 3 4 5 6 5 . 若橢圓x236+y29=1 的弦被點(diǎn) ( 4 , 2 ) 平分 , 則此弦所在直線的斜率為 . 解析 :設(shè)此弦所在直線與橢圓的交點(diǎn)分別為 M ( x1, y1), N ( x2, y2), 分別代入橢圓方程得x1236+y129=1 和x2236+y229=1 , 兩式相減得( x1+ x2)( x1 x2)36= ( y1+ y2)( y1 y2)9, ∵ 點(diǎn) ( 4 , 2 ) 是 M , N 的中點(diǎn) , ∴ x1+x2=8 , y1+y2=4 , 則y1 y2x1 x2= 12,即此弦所在直線的斜率為 12. 答案 : 12 1 2 3 4 5 6 6 . 點(diǎn) M ( x , y ) 到定點(diǎn) ( 3 , 0 ) 的距離和它到定直線 l : x=253的距離的比是常數(shù)35, 求點(diǎn) M 的軌跡 . 解 :由題意 ,得 ( x 3 )2+ ( y 0 )2 x 253 =35. 將上式化簡、整理 ,得x225+y216=1. 故所求點(diǎn) M 的軌跡方程為x225+y216=1. 所以點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 . 1 2 3 4 5 6