20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)342-343圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的交-展示頁
2024-11-28 23:21本頁面
【正文】 直線與橢圓相切 ? 有且只有一個公共點(diǎn) 。 當(dāng) e= 1時 , 圓錐曲線是 拋物線 . 1 2 2 . 直線與圓錐曲線的交點(diǎn) 在直角坐標(biāo)系 xOy 中 , 給定兩條曲線 C1, C2, 它們由如下方程確定 : C1: f ( x , y ) = 0 , C2: g ( x , y ) = 0 , 求曲線 C1和 C2的交點(diǎn) , 即要求出這些交點(diǎn)的 坐標(biāo) . 設(shè) M ( x0, y0) 是曲線 C1和 C2的一個交點(diǎn) 。 圓錐曲線的共同特征 直線與圓錐曲線的交點(diǎn) 課程目標(biāo) 學(xué)習(xí)脈絡(luò) 1 . 通過例子 , 歸納出圓錐曲線的共同特征 . 2 . 理解并掌握圓錐曲線的共同特征 , 感受圓錐曲線在解決實(shí)際問題中的作用 , 進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想和變化統(tǒng)一的觀點(diǎn) . 3 . 了解直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系 . 4 . 掌握求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題的方法 . 5 . 加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想方法的訓(xùn)練與應(yīng)用 . 1 2 1 . 圓錐曲線的共同特征 ( 橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義 ) 圓錐曲線上的點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比為定值 e . 當(dāng) 0 e 1 時 , 圓錐曲線是 橢圓 。 當(dāng) e 1 時 , 圓錐曲線是 雙曲線 。 因?yàn)辄c(diǎn) M 在曲線 C1上 , 所以它的坐標(biāo)滿足方程 f ( x , y ) = 0 , 因?yàn)辄c(diǎn) M 在曲線 C2上 , 所以它的坐標(biāo)也滿足方程g ( x , y ) = 0 . 從而 , 曲線 C1和 C2的任意一個交點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程組 ?? ( ?? , ?? ) = 0 ,?? ( ?? , ?? ) = 0 .反過來 , 該方程組的任何一組實(shí)數(shù)解都對應(yīng)著這兩條曲線某一個交點(diǎn)的坐標(biāo) . 1 2 溫馨提示 1 . 直線與橢圓的位置關(guān)系 ( 1 ) 位置關(guān)系 :相交、相切、相離 . ( 2 ) 判別方法 :通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組 ,對解的個數(shù)進(jìn)行討論 .通常消去方程組中的一個變量 ,得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程 . ① Δ 0 ? 直線與橢圓相交 ? 有兩個公共點(diǎn) 。 ③ Δ 0 ? 直線與橢圓相離 ? 無公共點(diǎn) . 1 2 2 . 直線與雙曲線的位置關(guān)系 ( 1 ) 研究直線與雙曲線的位置關(guān)系 ,一般通過解直線方程與雙曲線方程所組成的方程組 ?? ?? + ?? ?? + ?? = 0 ,??2??2 ??2??2= ??2??2( a 0 , b 0 ),對解的個數(shù)進(jìn)行討論 :當(dāng)有兩組不同的實(shí)數(shù)解 ( Δ 0 ) 時 ,直線與雙曲線相交 。當(dāng)無實(shí)數(shù)解 ( Δ 0 ) 時 ,直線與雙曲線相離 . ( 2 ) 當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時 ,直線與雙曲線相交且只有一個交點(diǎn) . 1 2 3 . 直線與拋物線的位置關(guān)系 ( 1 ) 直線與拋物線有三種位置關(guān)系 :相交、相切、相離 . 相交 :直線與拋物線交于兩個不同的點(diǎn) ,或直線與拋物線的對稱軸平行 . 相切 :直線與拋物線有且只有一個公共點(diǎn) ,且直線不平行于拋物線的對稱軸 . 相離 :直線與拋物線沒有公共點(diǎn) . ( 2 ) 判別方法 :把直線的方程和拋物線的方程聯(lián)立起來得到一個方程組 ,于是 : ① 方程組有一組解 ? 直線與拋物線相交或相切 ( 1 個公共點(diǎn) )。 ③ 方程組無解 ? 直線與拋物線相離 . 1 2 思考 1 如何確定兩條二次曲線交點(diǎn)的個數(shù) ? 提示 :要判斷兩曲線公共點(diǎn)的個數(shù) ,可解方程組 ,看有幾組解即可 ,也可結(jié)合圖形的特征 ,利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行判斷 . 思考 2 直線與二次曲線交點(diǎn)個數(shù)的問題如何解決 ? 提示 :基本方法可通過方程解的情況進(jìn)行討論 ,也可利用判別式加以研究 ,當(dāng)其判別式 Δ 0 時 ,有兩個公共點(diǎn) 。當(dāng) Δ 0 時 ,無公共點(diǎn) .特別地 ,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時 ,首先要討論二次項(xiàng)系數(shù)為 0 和不為 0 兩種情況 ,然后再用判別式加以研究 . 思考 3 如何解決弦長問題 ? 提示 :連接圓錐曲線上兩個點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦 ,設(shè)弦 AB 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 直線的斜率為 k ,則 | A B | = 1 + ??2|x1 x2|= 1 + ??2 Δ = 0 ,直線 l 與曲線 r 相切 。若 r 為拋物線 ,則直線 l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 .直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)時 ,應(yīng)注意區(qū)分是交點(diǎn)還是切點(diǎn) 。????的關(guān)系等 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 2 】 已知橢圓 4 x2+y2= 1 及直線 y= x + m , 當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時 , 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 思路分析 :利用方程組解的情況來判定 ,主要是聯(lián)立方程消元后 ,轉(zhuǎn)化為一元二次方程用根的判別式來判定 . 解 :由 4 ??2+ ??2= 1 ,?? = ?? + ?? ,得 5 x2+ 2 mx+ m2 1 = 0 . ∴ Δ = 4 m2 4 5 ( m2 1 ) = 20 16 m2. ∵ 直線與橢圓有公共點(diǎn) , ∴ Δ ≥ 0 ,即 20 16 m2≥ 0 . ∴ 52≤ m ≤ 52. ∴ m 的取值范圍為 52, 52 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 3 】 已知雙曲線 x2 y2= 4 , 直線 l : y= k ( x 1 ), 試討論實(shí)數(shù) k 的取值范圍 , 使 : ( 1 ) 直線 l 與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn) 。 ( 3 ) 直線 l 與雙曲線沒有公共點(diǎn) . 思路分析 :在解決直線與雙曲線位置關(guān)系時 ,對消元后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零應(yīng)分類討論 ,且要結(jié)合判別式討論 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :由 ??2 ??2= 4 ,?? = ?? ( ?? 1 ),消去 y ,整理 , 得 ( 1 k2) x2+ 2 k2x k2 4 = 0 . ( * ) ① 當(dāng) 1 k2= 0 ,即 k= 177。 ② 當(dāng) 1 k2≠ 0 ,即 k ≠ 177。 ( k2 4 ) = 4 ( 4 3 k2), 當(dāng) Δ = 4 ( 4 3 ??2) = 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 k= 177。 當(dāng) 4 3 ??2 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 2 33 k2 33,且 k ≠ 177。 當(dāng) 4 3 ??2 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 k 2 33或 k2 33時 ,方程 ( * ) 無實(shí)數(shù)解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 綜上所述 , ( 1 ) 當(dāng) k= 177。2 33時 ,直線與雙曲線有且只有一個公共點(diǎn) . ( 2 ) 當(dāng) 2 33 k 1 或 1 k 1 或 1 k 2 33時 ,直線與雙曲線有兩個公共點(diǎn) . ( 3 ) 當(dāng) k 2 33或 k2 33時 ,直線與雙曲線沒有公共點(diǎn) . 點(diǎn)評 在解決此類問題時 ,可結(jié)合圖形 ,利用數(shù)形結(jié)合法來分析各種情況 ,以防漏解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 4 】 求過 P ( 0 , 1 ), 且與拋物線 y2= 2 x 只有一個公共點(diǎn)的直線方程 . 思路分析 :設(shè)出直線方程 ,注意斜率
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