【正文】 的直線 l2被橢圓 C 截得的弦長是橢圓長軸長的25, 求橢圓 C 的方程 . 思路分析 :由直線 l1方程的特點 ,知直線 l1恰好過橢圓的兩個頂點 ,即有a2+b2= 8 ,把直線 l2的方程代入橢圓方程 ,利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :由 l1被 C 截得的弦長為 2 2 ,得 a2+b2= 8 .① 設(shè) l2: y= 3 ( x c ), 代入橢圓 C 的方程并化簡 ,得 ( b2+ 3 a2) x2 6 a2cx+ a2( 3 c2 b2) = 0 . 設(shè)直線 l2與橢圓交于點 M ( x1, y1), N ( x2, y2) . 由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 x1+x2=6 ??2c??2+ 3 ??2, x1x2=??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2. 從而 |x1 x2|= ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2= 6 ??2c??2+ 3 ??2 24 ??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2=4 ?? ??2??2+ 3 ??2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 則由弦長公式 ,得 | MN | =4 ?? ??2??2+ 3 ??2直線與雙曲線有兩個公共點時 ,應(yīng)注意是在一支上有兩個交點 ,還是在兩支上各有一個交點 .主要是運用數(shù)形結(jié)合 ,判斷直線的斜率 k 存在與否及找出 k 與漸近線的斜率 177。 圓錐曲線的共同特征 直線與圓錐曲線的交點 課程目標 學習脈絡(luò) 1 . 通過例子 , 歸納出圓錐曲線的共同特征 . 2 . 理解并掌握圓錐曲線的共同特征 , 感受圓錐曲線在解決實際問題中的作用 , 進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想和變化統(tǒng)一的觀點 . 3 . 了解直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系 . 4 . 掌握求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題的方法 . 5 . 加強數(shù)形結(jié)合思想方法的訓練與應(yīng)用 . 1 2 1 . 圓錐曲線的共同特征 ( 橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義 ) 圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到一條定直線的距離之比為定值 e . 當 0 e 1 時 , 圓錐曲線是 橢圓 。若 r 為拋物線 ,則直線 l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 .直線與雙曲線有一個公共點時 ,應(yīng)注意區(qū)分是交點還是切點 。 ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2,即弦長公式 .也可以寫成關(guān)于 y 的形式 ,其弦長公式為 | A B | = | y1 y2| 1 時 ,4 3 |m |??2+ 3= 3 , 所以 | A B | =4 3 |m |??2+ 3, m ∈ ( ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) . 因為 | A B | =4 3 |m |??2+ 3=4 3|?? | +3|?? |≤ 2 , 當且僅當 m= 177。 ( 2 ) 過某定點作圓錐曲線的 割線 ,求截得弦的中點的軌跡方程 . 上述兩種類型均與弦的中點有關(guān) ,因此 ,可采用點差法 ( 設(shè)而不解 ,兩式相減法 ) 來求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 7 】 已知橢圓的兩個焦點為 F1( 0 , 2 2 ), F2( 0 , 2 2 ), 離心率e=2 23. ( 1 ) 求橢圓方程 . ( 2 ) 一條不與坐標軸平行的直線 l 與橢圓交于不同的兩點 M , N , 且線段MN 中點的橫坐標為 12, 求直線 l 傾斜角的取值范圍 . 思路分析 :涉及與中點弦有關(guān)的問題 ,不妨嘗試用 “ 點差法 ”. 解 : ( 1 ) ∵ c= 2 2 , e=????=2 23, ∴ a= 3 , c= 2 2 . ∴ b2= 1 . ∴ 橢圓方程為??29+x2= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ( 2 ) 設(shè)點 M ( x1, y1), N ( x2, y2), 且 MN 的中點為 P 12, ??0 , kMN=k ( k ≠ 0 ), 則??129+ ??12= 1 ,??229+ ??22= 1 . 兩式相減 ,得( ??1 ??2)( ??1+ ??2)9+ ( x1 x2)( x1+x2) = 0 . ∴??1 ??2??1 ??2= 9 ( ??1+ ??2)??1+ ??2. ∴ y0=92 ??. 由于點 12,92 ?? 在橢圓??29+x2= 1 的內(nèi)部 , ∴92( 2 ?? )2 ( k2 4 ) = 4 ( 4 3 k2), 當 Δ = 4 ( 4 3 ??2) = 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 k= 177。當無實數(shù)解 ( Δ 0 ) 時 ,直線與雙曲線相離 . ( 2 ) 當直線與雙曲線的漸近線平行時 ,直線與雙曲線相交且只有一個交點 . 1 2 3 . 直線與拋物線的位置關(guān)系 ( 1 ) 直線與拋物線有三種位置關(guān)系 :相交、相切、相離 . 相交 :直線與拋物線交于兩個不同的點 ,或直線與拋物線的對稱軸平行 . 相切 :直線與拋物線有且只有一個公共點 ,且直線不平行于拋物線的對稱軸 . 相離 :直線與拋物線沒有公共點 . ( 2 ) 判別方法 :把直線的方程和拋物線的方程聯(lián)立起來得到一個方程組 ,于是 : ① 方程組有一組解 ? 直線與拋物線相交或相切 ( 1 個公共點 )。 ② 方程組有兩組解 ? 直線與拋物線相交 ( 2 個公共點 )。2 33時 ,方程 ( * ) 有兩個相同的實數(shù)解 。19+14 1 ,化簡得 k2 3 . 解得 k 3 或 k 3 . ∴ 直線 l 傾斜角的取值范圍是 π3,π2 ∪ π2,2 π3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 反思 當題目涉及中點弦且已知中點坐標或中點的一個坐標時經(jīng)常采用點差法 ,設(shè)而不求 ,利用中點坐標公式建立聯(lián)系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 8 】 已知拋物線 y 2 = 2 x , 過點 Q ( 2 , 1 ) 作一條直線交拋物線于A , B 兩點 , 試求弦 AB 的中點的軌跡方程 . 思路分析 :利用點差法求解 ,同時以斜率為出發(fā)點構(gòu)造等量關(guān)系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :設(shè)弦 AB 的中點為 M ,并設(shè) A , B , M 的坐標分別為 ( x1, y1) , ( x2, y2) , ( x , y ), 由題意有 ??12= 2 ??1, ①??22= 2 ??2, ② 又由 ??1+ ??2