【正文】 的直線 l2被橢圓 C 截得的弦長(zhǎng)是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的25, 求橢圓 C 的方程 . 思路分析 :由直線 l1方程的特點(diǎn) ,知直線 l1恰好過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn) ,即有a2+b2= 8 ,把直線 l2的方程代入橢圓方程 ,利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :由 l1被 C 截得的弦長(zhǎng)為 2 2 ,得 a2+b2= 8 .① 設(shè) l2: y= 3 ( x c ), 代入橢圓 C 的方程并化簡(jiǎn) ,得 ( b2+ 3 a2) x2 6 a2cx+ a2( 3 c2 b2) = 0 . 設(shè)直線 l2與橢圓交于點(diǎn) M ( x1, y1), N ( x2, y2) . 由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 x1+x2=6 ??2c??2+ 3 ??2, x1x2=??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2. 從而 |x1 x2|= ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2= 6 ??2c??2+ 3 ??2 24 ??2( 3 ??2 ??2)??2+ 3 ??2=4 ?? ??2??2+ 3 ??2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 則由弦長(zhǎng)公式 ,得 | MN | =4 ?? ??2??2+ 3 ??2直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ,應(yīng)注意是在一支上有兩個(gè)交點(diǎn) ,還是在兩支上各有一個(gè)交點(diǎn) .主要是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 ,判斷直線的斜率 k 存在與否及找出 k 與漸近線的斜率 177。 圓錐曲線的共同特征 直線與圓錐曲線的交點(diǎn) 課程目標(biāo) 學(xué)習(xí)脈絡(luò) 1 . 通過(guò)例子 , 歸納出圓錐曲線的共同特征 . 2 . 理解并掌握?qǐng)A錐曲線的共同特征 , 感受圓錐曲線在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用 , 進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和變化統(tǒng)一的觀點(diǎn) . 3 . 了解直線與圓錐曲線的三種位置關(guān)系 . 4 . 掌握求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問(wèn)題的方法 . 5 . 加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想方法的訓(xùn)練與應(yīng)用 . 1 2 1 . 圓錐曲線的共同特征 ( 橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義 ) 圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比為定值 e . 當(dāng) 0 e 1 時(shí) , 圓錐曲線是 橢圓 。若 r 為拋物線 ,則直線 l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 .直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ,應(yīng)注意區(qū)分是交點(diǎn)還是切點(diǎn) 。 ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2,即弦長(zhǎng)公式 .也可以寫成關(guān)于 y 的形式 ,其弦長(zhǎng)公式為 | A B | = | y1 y2| 1 時(shí) ,4 3 |m |??2+ 3= 3 , 所以 | A B | =4 3 |m |??2+ 3, m ∈ ( ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) . 因?yàn)?| A B | =4 3 |m |??2+ 3=4 3|?? | +3|?? |≤ 2 , 當(dāng)且僅當(dāng) m= 177。 ( 2 ) 過(guò)某定點(diǎn)作圓錐曲線的 割線 ,求截得弦的中點(diǎn)的軌跡方程 . 上述兩種類型均與弦的中點(diǎn)有關(guān) ,因此 ,可采用點(diǎn)差法 ( 設(shè)而不解 ,兩式相減法 ) 來(lái)求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 7 】 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1( 0 , 2 2 ), F2( 0 , 2 2 ), 離心率e=2 23. ( 1 ) 求橢圓方程 . ( 2 ) 一條不與坐標(biāo)軸平行的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M , N , 且線段MN 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 12, 求直線 l 傾斜角的取值范圍 . 思路分析 :涉及與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題 ,不妨嘗試用 “ 點(diǎn)差法 ”. 解 : ( 1 ) ∵ c= 2 2 , e=????=2 23, ∴ a= 3 , c= 2 2 . ∴ b2= 1 . ∴ 橢圓方程為??29+x2= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ( 2 ) 設(shè)點(diǎn) M ( x1, y1), N ( x2, y2), 且 MN 的中點(diǎn)為 P 12, ??0 , kMN=k ( k ≠ 0 ), 則??129+ ??12= 1 ,??229+ ??22= 1 . 兩式相減 ,得( ??1 ??2)( ??1+ ??2)9+ ( x1 x2)( x1+x2) = 0 . ∴??1 ??2??1 ??2= 9 ( ??1+ ??2)??1+ ??2. ∴ y0=92 ??. 由于點(diǎn) 12,92 ?? 在橢圓??29+x2= 1 的內(nèi)部 , ∴92( 2 ?? )2 ( k2 4 ) = 4 ( 4 3 k2), 當(dāng) Δ = 4 ( 4 3 ??2) = 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 k= 177。當(dāng)無(wú)實(shí)數(shù)解 ( Δ 0 ) 時(shí) ,直線與雙曲線相離 . ( 2 ) 當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí) ,直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn) . 1 2 3 . 直線與拋物線的位置關(guān)系 ( 1 ) 直線與拋物線有三種位置關(guān)系 :相交、相切、相離 . 相交 :直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn) ,或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行 . 相切 :直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn) ,且直線不平行于拋物線的對(duì)稱軸 . 相離 :直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn) . ( 2 ) 判別方法 :把直線的方程和拋物線的方程聯(lián)立起來(lái)得到一個(gè)方程組 ,于是 : ① 方程組有一組解 ? 直線與拋物線相交或相切 ( 1 個(gè)公共點(diǎn) )。 ② 方程組有兩組解 ? 直線與拋物線相交 ( 2 個(gè)公共點(diǎn) )。2 33時(shí) ,方程 ( * ) 有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解 。19+14 1 ,化簡(jiǎn)得 k2 3 . 解得 k 3 或 k 3 . ∴ 直線 l 傾斜角的取值范圍是 π3,π2 ∪ π2,2 π3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 反思 當(dāng)題目涉及中點(diǎn)弦且已知中點(diǎn)坐標(biāo)或中點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)時(shí)經(jīng)常采用點(diǎn)差法 ,設(shè)而不求 ,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立聯(lián)系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 8 】 已知拋物線 y 2 = 2 x , 過(guò)點(diǎn) Q ( 2 , 1 ) 作一條直線交拋物線于A , B 兩點(diǎn) , 試求弦 AB 的中點(diǎn)的軌跡方程 . 思路分析 :利用點(diǎn)差法求解 ,同時(shí)以斜率為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)造等量關(guān)系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :設(shè)弦 AB 的中點(diǎn)為 M ,并設(shè) A , B , M 的坐標(biāo)分別為 ( x1, y1) , ( x2, y2) , ( x , y ), 由題意有 ??12= 2 ??1, ①??22= 2 ??2, ② 又由 ??1+ ??2