11_回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用_教案人教a版選修1-2(參考版)
2024-11-25 06:31本頁面
【正文】 福建高考 )某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià) x(元 ) 8 9 銷量 y(件 ) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ bx＋ a，其中 b＝－ 20， a＝ y － b x ； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從 (1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？ (利潤＝銷售收入－成本 ) 【解】 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b＝－ 20， 所以 a＝ y － b x ＝ 80＋ 20 ＝ 250，從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20(x－ )2＋ . 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 時(shí)， L 取得最大值 ． 故當(dāng)單價(jià)定為 元時(shí)，工廠可獲得最大利潤． 11．在關(guān)于人的脂肪含量 (百分比 )和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組數(shù)據(jù)如下表： 年齡23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 x 脂肪 含量y (1)作出散點(diǎn)圖，并判斷 y 與 x 是否線性相關(guān)．若線性相關(guān)，求線性回歸方程； (2)求相關(guān)指數(shù) R2，并說明其含義； (3)給 出 37 歲時(shí)人的脂肪含量的預(yù)測值． 【解】 (1)散點(diǎn)圖如圖所示．由散點(diǎn)圖可知樣本點(diǎn)呈條狀分布，脂肪含量與年齡有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系． 設(shè)線性回歸方程為 y^＝ b^x＋ a^， 則由計(jì)算器算得 b^≈ ， a^≈ ＝－ ， 所 以線性回歸方程為 y^＝ － . (2)殘差平方和： ?i＝ 114 e^2i＝ ?i＝ 114 (yi－ y^i)2≈ . 總偏差平方和： ?i＝ 114 (yi－ y－ )2≈ . R2＝ 1－ ≈ . R2≈ ，表明年齡解釋了 %的脂肪含量變化． (3)當(dāng) x＝ 37 時(shí)， y^＝ 37－ ≈ ，故 37 歲時(shí)人的脂肪含量約為%. (教師用書獨(dú)具 ) 為研究重量 x(單位：克 )對彈簧長度 y(單位：厘米 )的影響，對不同重量的6 個(gè)物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y (1)作出散點(diǎn)圖并求回歸方程； (2)求出 R2； (3)進(jìn)行殘差分析． 【思路探究】 (1)由表作出散點(diǎn)圖，求出系數(shù)值，即可寫出回歸方程． (2)列出殘差表，計(jì)算 R2，由 R2的值判斷擬合效果． (3)由 (2)中殘差表中數(shù)值，進(jìn)行回歸分析． 【自主解答】 (1)散點(diǎn)圖如圖． x ＝ 16(5＋ 10＋ 15＋ 20＋ 25＋ 30)＝ ， y ＝ 16(＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ) ≈ ， ?i＝ 16x2i＝ 2 275， ?i＝ 16xiyi＝ 1 . 計(jì)算得， b^≈ ， a^≈ ， 所求線性回歸方程為 y^＝ ＋ . (2)列表如下： yi－ y^i － － yi－ y － － － 所以 ?i＝ 16 (yi－ y^i)2≈ 18， ?i＝ 16 (yi－ y )2＝ 4. 所以， R2＝ 1－ 4≈ 1，回歸模型的擬合效 果較好． (3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第 3 個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過 的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與拉力成線性關(guān)系． 建立回歸模型的基本步驟： (1)確定解釋變量和預(yù)報(bào)變量； (2)畫散點(diǎn)圖，觀察是否存在線性相關(guān)關(guān)系； (3)確定回歸方程的類型，如 y＝ bx＋ a； (4)按最小二乘法估計(jì)回歸方程中的參數(shù)； (5)得結(jié)果后分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適． 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限 x(年 )和所支出的維修費(fèi)用 y(萬元 )有關(guān)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示． 使用年限 x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用 y 若由資料知 y 對 x 呈線性相關(guān)關(guān)系．試求： (1)線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^的回歸系數(shù) a^、 b^； (2)求相關(guān)指數(shù) R2； (3)估計(jì)使用年限為 10 年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ 【解】 (1)由已知數(shù)據(jù)制成下表． i 1 2 3 4 5 合計(jì) xi 2 3 4 5 6 20 yi 25 由此可得 x ＝ 4， y ＝ 5， b^＝?i＝ 15 ?xi－ x ??yi－ y ??i＝ 15 ?xi－ x ?2＝ ， a^＝ y － b^ x ＝ 5－ 4＝ ， ∴ y^＝ ＋ . (2)R2＝ 1－?i＝ 15 ?yi－ y^i?2?i＝ 15 ?yi－ y ?2 ＝ 1－ ≈ 7. (3)回歸直線方程為 y^＝ ＋ ，當(dāng) x＝ 10(年 )時(shí)， y^＝ 10＋ ＝(萬元 )， 即估計(jì)使用 10 年時(shí)維修費(fèi)用是 萬元 . 。湖南高考 )設(shè)某大學(xué)的女生體重 y(單位： kg)與身高 x(單位： cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù) (xi， yi)(i＝ 1,2， ? ， n)，用最小二乘法建立的回歸方程為 y^＝ － ，則下列結(jié)論中 不正確 ． ． ． 的是 ( ) A． y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心 ( x ， y ) C．若該大學(xué)某女生身高增加 1 cm，則其體重約增加 kg D．若該大學(xué)某
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