11_回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用_教案人教a版選修1-2-免費閱讀
【正文】 泰安高二檢測 )在回歸分析中，相關(guān)指數(shù) R2的值越大，說明殘差平方和 ( ) A．越大 B．越小 C．可能大也可能小 D．以上均錯 【解析】 ∵ R2＝ 1－?i＝ 1n ?yi－ y^i?2?i＝ 1n ?yi－ y ?2， ∴ 當(dāng) R2越大時， ?i＝ 1n (yi－ y^i)2越小，即殘差平方和越小． 【答案】 B 3．設(shè)變量 y 對 x 的線性回歸方程為 y^＝ 2－ ，則變量 x 每增加一個單位時，y 平均 ( ) A．增加 個單位 B．增加 2 個單位 C．減少 個單位 D．減少 2 個單位 【解析】 回歸直線的斜率 b^＝－ ，表示 x 每增加一個單位， y 平均減少 個單位． 【答案】 C 4． (2020lg h. 令 y＝ lg Q， x＝ lg h，那么 y＝ nx＋ lg m， 即為線性函數(shù)模型 y＝ bx＋ a 的形式 (其中 b＝ n， a＝ lg m)． 由下面的數(shù)據(jù)表，用最小二乘法可求得 b^≈ 7， a^＝－ 7，所以n≈ ， m≈ . i hi Qi xi＝ lg hi yi＝ lg Qi x2i xiyi 1 － 9 － 2 3 2 4 － 1 7 － 9 3 9 3 3 6 4 2 2 4 2 5 5 0 4 0 6 6 8 3 5 7 134 3 1 6 3 ∑ 1 7 于是所求得的回歸方程為 Q＝ 福建高考 )某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)： 單價 x(元 ) 8 9 銷量 y(件 ) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程 y^＝ bx＋ a，其中 b＝－ 20， a＝ y － b x ； (2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從 (1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是 4 元 /件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？ (利潤＝銷售收入－成本 ) 【解】 (1)由于 x ＝ 16(8＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 9)＝ ， y ＝ 16(90＋ 84＋ 83＋ 80＋ 75＋ 68)＝ 80，又 b＝－ 20， 所以 a＝ y － b x ＝ 80＋ 20 ＝ 250，從而回歸直線方程為 y^＝－ 20x＋ 250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤為 L 元，依題意得 L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250) ＝－ 20x2＋ 330x－ 1 000 ＝－ 20(x－ )2＋ . 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 時， L 取得最大值 ． 故當(dāng)單價定為 元時，工廠可獲得最大利潤． 11．在關(guān)于人的脂肪含量 (百分比 )和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組數(shù)據(jù)如下表： 年齡23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 x 脂肪 含量y (1)作出散點圖，并判斷 y 與 x 是否線性相關(guān)．若線性相關(guān)，求線性回歸方程； (2)求相關(guān)指數(shù) R2，并說明其含義； (3)給 出 37 歲時人的脂肪含量的預(yù)測值． 【解】 (1)散點圖如圖所示．由散點圖可知樣本點呈條狀分布，脂肪含量與年齡有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系． 設(shè)線性回歸方程為 y^＝ b^x＋ a^， 則由計算器算得 b^≈ ， a^≈ ＝－ ， 所 以線性回歸方程為 y^＝ － . (2)殘差平方和： ?i＝ 114 e^2i＝ ?i＝ 114 (yi－ y^i)2≈ . 總偏差平方和： ?i＝ 114 (yi－ y－ )2≈ . R2＝ 1－ ≈ . R2≈ ，表明年齡解釋了 %的脂肪含量變化． (3)當(dāng) x＝ 37 時， y^＝ 37－ ≈ ，故 37 歲時人的脂肪含量約為%. (教師用書獨具 ) 為研究重量 x(單位：克 )對彈簧長度 y(單位：厘米 )的影響，對不同重量的6 個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y (1)作出散點圖并求回歸方程； (2)求出 R2； (3)進行殘差分析． 【思路探究】 (1)由表作出散點圖，求出系數(shù)值，即可寫出回歸方程． (2)列出殘差表，計算 R2，由 R2的值判斷擬合效果． (3)由 (2)中殘差表中數(shù)值，進行回歸分析． 【自主解答】 (1)散點圖如圖． x ＝ 16(5＋ 10＋ 15＋ 20＋ 25＋ 30)＝ ， y ＝ 16(＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ) ≈ ， ?i＝ 16x2i＝ 2 275， ?i＝ 16xiyi＝ 1 . 計算得， b^≈ ， a^≈ ， 所求線性回歸方程為 y^＝ ＋ . (2)列表如下： yi－ y^i － － yi－ y － － － 所以 ?i＝ 16 (yi－ y^i)2≈ 18， ?i＝ 16 (yi－ y )2＝ 4. 所以， R2＝ 1－ 4≈ 1，回歸模型的擬合效 果較好． (3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第 3 個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在不超過 的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與拉力成線性關(guān)系． 建立回歸模型的基本步驟： (1)確定解釋變量和預(yù)報變量； (2)畫散點圖，觀察是否存在線性相關(guān)關(guān)系； (3)確定回歸方程的類型，如 y＝ bx＋ a； (4)按最小二乘法估計回歸方程中的參數(shù)； (5)得結(jié)果后分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適． 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限 x(年 )和所支出的維修費用 y(萬元 )有關(guān)的統(tǒng)計
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