11_回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用_教案人教a版選修1-2(完整版)
【正文】 出 x 與 y 不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線 y＝ c1ec2x 的周圍，其中 c c2為待定的參數(shù)． (2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系， 令 z＝ ln y，則有變換后的樣本點應(yīng)分布在直線 z＝ bx＋ a， a＝ ln c1， b＝ c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立 y 與 x 之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為： x 21 23 25 27 29 32 35 z 求得回歸直線方程為 z^＝ － ， ∴ y^＝ － . 殘差如下表： yi 7 11 21 24 66 115 325 y^i e^i － － － (3)當(dāng) x＝ 40 時， y＝ － ≈ 1 131. 兩個變量不具有線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關(guān)系 ，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，如 y＝ c1ec2x，我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令 z＝ ln y，則變換后樣本點應(yīng)該分布在直線 z＝ bx＋ a(a＝ ln c1， b＝ c2)的周圍． 有一個測量水流量的實驗裝置，測得試驗數(shù)據(jù)如下表： i 1 2 3 4 5 6 7 水高 h(厘米 ) 流量 Q(升 /分鐘 ) 134 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立 Q 與 h 之間的回歸方程． 【解】 由表中測得的數(shù)據(jù)可以作出散點圖，如圖． 觀察散點圖中樣本點的分布規(guī)律，可以判斷樣本點分布在某一條曲線附近，表示該曲線的函數(shù)模型是 Q＝ m錯誤 !)＝ 錯誤 !≈ . 因此可以認為 y 與 x 有很強的線性相關(guān)關(guān)系． (3)回歸系數(shù) b^＝∑5 i＝ 1xiyi－ 5 x y∑5 i＝ 1x2i－ 5 x 2＝ 452， a^＝ y － b^ x ＝ 315. ∴ 回歸方程為 y^＝ 452x＋ 315. (4)當(dāng) x＝ 500 時， y^≈ 500 分時，他的數(shù)學(xué)成績約為 81 分． 10． (2020. 沒有理解相關(guān)指數(shù) R2的意義而致誤 關(guān)于 x 與 y 有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 為了對 x、 y 兩個變量進行統(tǒng)計分析，現(xiàn)有以下兩種線性模型：甲模型 y^＝ ＋ ，乙模型 y^＝ 7x＋ 17，試比較哪一個模型擬合的效果更好． 【錯解】 ∵ R21＝ 1－?i＝ 15 ?yi－ y^i?2?i＝ 15 ?yi－ y ?2＝ 1－ 1551 000＝ . R22＝ 1－?i＝ 15 ?yi－ y^i?2?i＝ 15 ?yi－ y ?2＝ 1－ 1801 000＝ . 又 ∵ %82%， ∴ 乙選用的模型擬合的效果更好． 【錯因分析】 沒有理解 R2的意義是致錯的根源，用相關(guān)指數(shù) R2來比 較模型的擬合效果， R2越大，模型的擬合效果越好，并不是 R2越小擬合效果更好． 【防范措施】 R2＝ 1－?i＝ 1n ?yi－ y^i?2?i＝ 1n ?yi－ y ?2， R2越大，殘差平方和越小，從而回歸模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中， R2 表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率， R2越接近 1，表示回歸的效果越好 (因為 R2越接近 1，表示解釋變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強 )．從根本上理解 R2的意義和作用，就可防止此類錯誤的出現(xiàn) ． 【正解】 R21＝ 1－?i＝ 15 ?yi－ y^i?2?i＝ 15 ?yi－ y ?2＝ 1－ 1551 000＝ ， R22＝ 1－?i＝ 15 ?yi－ y^i?2?i＝ 15 ?yi－ y ?2＝ 1－ 1801 000＝ ， 84． 5%82%，所以甲模型擬合效果更好． 1． 在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．然后，可以通過殘差 e^1， e^2， ? ，e^n 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)．這方面的分析工作稱為殘差分析． 2．我們還可以用相關(guān)指數(shù) R2 來反映回歸的效果，其計算公式是： R2＝ 1－?i＝ 1n ?yi－ y^i?2?i＝ 1n ?yi－ y ?2. 顯然， R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中， R2 表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率 . 1． 已知 x 和 y 之間的一組數(shù)據(jù) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 則 y 與 x 的線性回歸方程 y^＝ b^x＋ a^必過點 ( ) A． (2,2) B． (32， 0) C． (1,2) D． (32， 4) 【解析】 ∵ x ＝ 14(0＋ 1＋ 2＋ 3)＝ 32， y ＝ 14(1＋ 3＋ 5＋ 7)＝ 4， ∴ 回歸方程 y^＝ b^x＋ a^必過點 (32， 4)． 【答案】 D 2． (2020青島高二檢測 )在下列各組量中： ① 正方體的體積與棱長； ② 一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量； ③ 人的身高與年齡； ④ 家庭的支出與收入； ⑤ 某戶家庭的用電量與電價．其中量與量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 ( ) A． ①② B． ②④ C． ③④ D． ②③④ 【解析】 ① 是函數(shù)關(guān)系 V＝ a3； ⑤ 電價是統(tǒng)一規(guī)定的，與用電量有一定的關(guān)系，但這種關(guān)系是確定的關(guān)系． ②③④ 中的兩個量之間的關(guān)系都是相關(guān)關(guān)系，因為水稻的產(chǎn)量與施肥量在一定范圍內(nèi)是正比、反比 或其他關(guān)系，并不確定；人的身高一開始隨著年齡的增加而增大，之后則不變化或降低，在身高增大時，也不是均勻增大的；家庭的支出與收入有一定的關(guān)系，在一開始，會隨著收入的增加而支出也增加，而當(dāng)收入增大到一定的值后，家庭支出趨向于一個常數(shù)值，也不是確定關(guān)系． 【答案】 D 3．下列命題正確的有 ________． ① 在線性回歸模型中， e 是
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