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導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題(參考版)

2024-08-16 05:49本頁面
  

【正文】 (x)>0?0<x<當(dāng)x=時(shí),F(xiàn)(x)max=即當(dāng)a=時(shí),(a+1)b的最大值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,解題的關(guān)鍵是第一題中要賦值求出f′(1),易因?yàn)闆]有將f′(1)看作常數(shù)而出錯(cuò),第二題中將不等式恒成立研究參數(shù)關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為最小值問題,本題考查了轉(zhuǎn)化的思想,考查判斷推理能力,是高考中的熱點(diǎn)題型,計(jì)算量大,易馬虎出錯(cuò). 第31頁(共31頁)。(x)<0?x<ln(a+1)得:當(dāng)x=ln(a+1)時(shí),h(x)min=(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)﹣b≥0,即(a+1)﹣(a+1)ln(a+1)≥b∴(a+1)b≤(a+1)2﹣(a+1)2ln(a+1),(a+1>0)令F(x)=x2﹣x2lnx(x>0),則F39。(x)<f39。(x)>f39。(x)=ex﹣1+x∴g39。(1)e﹣1=1解得f39。(1)ex﹣1﹣f(0)+x令x=1得:f(0)=1∴f(x)=f39。(1)ex﹣1﹣f(0)x+?f39。(x)=x(3x﹣4),令f39。(x)>0,解得;令f39。(x)﹣0+g(x)↘↗∴函數(shù)y=g(x)的最小值為,根據(jù)題意,.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查恒成立問題,著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用,體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力,屬于中檔題. 28.已知函數(shù)f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若對(duì)所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值.(2)將f(x)≥ax﹣1在[1,+∞)上恒成立轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)于x∈[1,+∞)恒成立,然后令,對(duì)函數(shù)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可判斷其單調(diào)性進(jìn)而求出最小值,使得a小于等于這個(gè)最小值即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x)的導(dǎo)數(shù)f39。(x)=0解得則當(dāng)時(shí),g39。(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是奇函數(shù),所以g(﹣x)=﹣g(x),即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有a(﹣x)3+(3a+1)(﹣x)2+(b+2)(﹣x)+b=﹣[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b]從而3a+1=0,b=0,解得,因此f(x)的解析表達(dá)式為.(2)由(Ⅰ)知,所以g39。(x)≤0求得減區(qū)間;求最值時(shí)從極值和端點(diǎn)值中?。窘獯稹拷猓海?)由題意得f39。(x)=﹣x2+2,由g39。(x)>0,∴f(x)max={f(﹣),f(2)}max=7由f(x)<m恒成立,所以m>fmax(x)=7.故答案為:(7,+∞)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在(a,b)內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f(a),f(b) 比較而得到的,屬于基礎(chǔ)題. 24.f(x)=ax3﹣3x+1對(duì)于x∈[﹣1,1]總有f(x)≥0成立,則a= 4 .【分析】這類不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立的問題,可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題,本題要分三類:①x=0,②x>0,③x<0等三種情形.當(dāng)x=0時(shí),不論a取何值,f(x)≥0都成立;當(dāng)x>0時(shí)有a≥,可構(gòu)造函數(shù)g(x)=,然后利用導(dǎo)數(shù)求g(x)的最大值,只需要使a≥g(x)max,同理可得x<0時(shí)的a的范圍,從而可得a的值.【解答】解:①若x=0,則不論a取何值,f(x)≥0都成立;②當(dāng)x>0,即x∈(0,1]時(shí),f(x)=ax3﹣3x+1≥0可化為:a≥設(shè)g(x)=,則g′(x)=,所以g(x)在區(qū)間(0,]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[,1]上單調(diào)遞減,因此g(x)max=g()=4,從而a≥4;③當(dāng)x<0,即x∈[﹣1,0)時(shí),f(x)=ax3﹣3x+1≥0可化為:a≤,g(x)=在區(qū)間[﹣1,0)上單調(diào)遞增,因此g(x)min=g(﹣1)=4,從而a≤4,綜上a=4.答案為:4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是含參數(shù)不等式的恒成立問題,考查分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值,最小值等知識(shí)與方法.在討論時(shí),容易漏掉x=0的情形,因此分類討論時(shí)要特別注意該問題的解答. 三.解答題(共10小題)25.已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函數(shù).(1)求f(x)的表達(dá)式;(2)討論g(x)的單調(diào)性,并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值.【分析】(Ⅰ)由f39。(x)>0,當(dāng)x∈時(shí),f39。(x)=3x2+6ax+3(a+2)∵函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有極大值又有極小值∴△=(6a)2﹣433(a+2)>0∴a>2或a<﹣1故答案為:(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.屬基礎(chǔ)題. 19.已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在極大值又存在極小值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 m<﹣3或m>6?。痉治觥壳蟪龊瘮?shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)已知條件,導(dǎo)函數(shù)必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,只須令導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0,求出m的范圍即可.【解答】解:∵函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在極大值,又存在極小值f′(x)=3x2+2mx+m+6=0,它有兩個(gè)不相等的實(shí)根,∴△=4m2﹣12(m+6)>0解得m<﹣3或m>6故答案為:m<﹣3或m>6.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.導(dǎo)數(shù)的引入,為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來了方便. 20.已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3時(shí)取得最小值,則a= 36?。痉治觥坑深}設(shè)函數(shù)在x=3時(shí)取得最小值,可得 f′(3)=0,解此方程即可得出a的值.【解答】解:由題設(shè)函數(shù)在x=3時(shí)取得最小值,∵x∈(0,+∞),∴得x=3必定是函數(shù)的極值點(diǎn),∴f′(3)=0,f′(x)=4﹣,即4﹣=0,解得a=36.故答案為:36.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,解題的關(guān)鍵是理解“函數(shù)在x=3時(shí)取得最小值”,將其轉(zhuǎn)化為x=3處的導(dǎo)數(shù)為0等量關(guān)系. 21.f(x)=x3﹣3x2+2在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值是 2?。痉治觥壳蟪龊瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為0,求出根,判斷根是否在定義域內(nèi),判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào),求出最值.【解答】解:f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)當(dāng)﹣1<x<0時(shí),f′(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)<0所以當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)取得極大值即最大值所以f(x)的最大值為2故答案為2【點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)的最值,一般先求出函數(shù)的極值,再求出區(qū)間的端點(diǎn)值,選出最值. 22.已知函數(shù)f(x)=x3﹣12x+8在區(qū)間[﹣3,3]上的最大值與最小值分別為M,m,則M﹣m= 32?。痉治觥肯葘?duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x,然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,列出在區(qū)間[﹣3,3]上f(x)的單調(diào)性、導(dǎo)函數(shù)f39。(x)=3x2﹣2ax﹣b=(x﹣1)(3x+11)=0有不等的實(shí)根,滿足題意;時(shí),f39。>0,解得x>2或x<﹣1故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在(0,2)減,在(2,3)上增又y(0)=5,y(2)=﹣15,y(3)=﹣4故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0,3]上最大值與最小值分別是5,﹣15故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)
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