導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習題(參考版)
2025-03-28 00:40本頁面
【正文】 參考。什么時候離光明最近？那就是你覺得黑暗太黑的時候。我不知道年少輕狂，我只知道勝者為王。（x）＞0?0＜x＜當x=時，F(xiàn)（x）max=即當a=時，（a+1）b的最大值為【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是第一題中要賦值求出f′（1），易因為沒有將f′（1）看作常數(shù)而出錯，第二題中將不等式恒成立研究參數(shù)關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為最小值問題，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，考查判斷推理能力，是高考中的熱點題型，計算量大，易馬虎出錯． 歡迎您的光臨，！希望您提出您寶貴的意見，你的意見是我進步的動力。（x）＜0?x＜ln（a+1）得：當x=ln（a+1）時，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），則F39。（x）＜f39。（x）＞f39。（x）=ex﹣1+x∴g39。（1）e﹣1=1解得f39。（1）ex﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f39。（1）ex﹣1﹣f（0）x+?f39。（x）=x（3x﹣4），令f39。（x）＞0，解得；令f39。（x）﹣0+g（x）↘↗∴函數(shù)y=g（x）的最小值為，根據(jù)題意，．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力，屬于中檔題． 28．已知函數(shù)f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性進而可求出最小值．（2）將f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為不等式對于x∈[1，+∞）恒成立，然后令，對函數(shù)g（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負可判斷其單調(diào)性進而求出最小值，使得a小于等于這個最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導(dǎo)數(shù)f39。（x）=0解得則當時，g39。（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因為函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，所以g（﹣x）=﹣g（x），即對任意實數(shù)x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]從而3a+1=0，b=0，解得，因此f（x）的解析表達式為．（2）由（Ⅰ）知，所以g39。（x）≤0求得減區(qū)間；求最值時從極值和端點值中?。窘獯稹拷猓海?）由題意得f39。（x）=﹣x2+2，由g39。（x）＞0，∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．故答案為：（7，+∞）【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題． 24．f（x）=ax3﹣3x+1對于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a= 4 ．【分析】這類不等式在某個區(qū)間上恒成立的問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，本題要分三類：①x=0，②x＞0，③x＜0等三種情形．當x=0時，不論a取何值，f（x）≥0都成立；當x＞0時有a≥，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=，然后利用導(dǎo)數(shù)求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0時的a的范圍，從而可得a的值．【解答】解：①若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立；②當x＞0，即x∈（0，1]時，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化為：a≥設(shè)g（x）=，則g′（x）=，所以g（x）在區(qū)間（0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，1]上單調(diào)遞減，因此g（x）max=g（）=4，從而a≥4；③當x＜0，即x∈[﹣1，0）時，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化為：a≤，g（x）=在區(qū)間[﹣1，0）上單調(diào)遞增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，從而a≤4，綜上a=4．答案為：4．【點評】本題考查的是含參數(shù)不等式的恒成立問題，考查分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值，最小值等知識與方法．在討論時，容易漏掉x=0的情形，因此分類討論時要特別注意該問題的解答． 三．解答題（共10小題）25．已知函數(shù)f（x）=ax3+x2+bx（其中常數(shù)a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函數(shù)．（1）求f（x）的表達式；（2）討論g（x）的單調(diào)性，并求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由f39。（x）＞0，當x∈時，f39。（x）=3x2+6ax+3（a+2）∵函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值∴△=（6a）2﹣433（a+2）＞0∴a＞2或a＜﹣1故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【點評】本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件．屬基礎(chǔ)題． 19．已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值又存在極小值，則實數(shù)m的取值范圍是 m＜﹣3或m＞6 ．【分析】求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)已知條件，導(dǎo)函數(shù)必有兩個不相等的實數(shù)根，只須令導(dǎo)函數(shù)的判別式大于0，求出m的范圍即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值，又存在極小值f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有兩個不相等的實根，∴△=4m2﹣12（m+6）＞0解得m＜﹣3或m＞6故答案為：m＜﹣3或m＞6．【點評】本題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件．導(dǎo)數(shù)的引入，為研究高次函數(shù)的極值與最值帶來了方便． 20．已知函數(shù)f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3時取得最小值，則a= 36 ．【分析】由題設(shè)函數(shù)在x=3時取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由題設(shè)函數(shù)在x=3時取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函數(shù)的極值點，∴f′（3）=0，f′（x）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案為：36．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是理解“函數(shù)在x=3時取得最小值”，將其轉(zhuǎn)化為x=3處的導(dǎo)數(shù)為0等量關(guān)系． 21．f（x）=x3﹣3x2+2在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值是 2?。痉治觥壳蟪龊瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，判斷根是否在定義域內(nèi)，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號，求出最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍）當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0所以當x=0時，函數(shù)取得極大值即最大值所以f（x）的最大值為2故答案為2【點評】求函數(shù)的最值，一般先求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間的端點值，選出最值． 22．已知函數(shù)f（x）=x3﹣12x+8在區(qū)間[﹣3，3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M﹣m= 32?。痉治觥肯葘瘮?shù)f（x）進行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，列出在區(qū)間[﹣3，3]上f（x）的單調(diào)性、導(dǎo)函數(shù)f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b=（x﹣1）（3x+11）=0有不等的實根，滿足題意；時，f39。＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）減，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值分別是5，﹣15故選：A．【點評
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