導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題-展示頁(yè)
2025-04-03 00:40本頁(yè)面
【正文】 則正確的是（ ）A．f（x）的極大值為，極小值為B．f（x）的極大值為，極小值為C．f（x）的極大值為f（﹣3），極小值為f（3）D．f（x）的極大值為f（3），極小值為f（﹣3）11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是（ ?。〢．﹣a＜a＜2 B．a(chǎn)＞2或a＜﹣1 C．a(chǎn)≥2或a≤﹣1 D．a(chǎn)＞1或a＜﹣212．函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值分別是（ ）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣1613．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m為常數(shù)）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[﹣2，2]上的最小值是（ ?。〢．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不對(duì)二．填空題15．函數(shù)f（x）=x3﹣3x2+1的極小值點(diǎn)為 ．16．已知f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當(dāng)x=1時(shí)，有極值10，則a+b= ．17．已知函數(shù)f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則c= ．18．已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．19．已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值又存在極小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ?。?0．已知函數(shù)f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3時(shí)取得最小值，則a= ?。?1．f（x）=x3﹣3x2+2在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值是 ?。?2．已知函數(shù)f（x）=x3﹣12x+8在區(qū)間[﹣3，3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M﹣m= ?。?3．設(shè)f（x）=x3﹣﹣2x+5，當(dāng)x∈[﹣1，2]時(shí)，f（x）＜m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ?。?4．f（x）=ax3﹣3x+1對(duì)于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a= ． 三．解答題25．已知函數(shù)f（x）=ax3+x2+bx（其中常數(shù)a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函數(shù)．（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）討論g（x）的單調(diào)性，并求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值．26．已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅲ）對(duì)?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．28．已知函數(shù)f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若對(duì)所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．29．已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值和最大值．30．已知函數(shù)f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈[﹣1，2]）的最大值為3，最小值為﹣29，求a、b的值．31． 求函數(shù)f（x）=x3﹣2x2+5在區(qū)間[﹣2，2]的最大值和最小值．32．設(shè)函數(shù)f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求f（x）取得最大值和最小值時(shí)的x的值． 導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題參考答案與試題解析 一．選擇題（共14小題）1．可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是該函數(shù)在這點(diǎn)取極值的（ ）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．必要非充分條件【分析】結(jié)合極值的定義可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）=0外，還的要求在兩側(cè)有單調(diào)性的改變（或?qū)Ш瘮?shù)有正負(fù)變化），通過反例可知充分性不成立．【解答】解：如y=x3，y′=3x2，y′|x=0=0，但x=0不是函數(shù)的極值點(diǎn)．若函數(shù)在x0取得極值，由定義可知f′（x0）=0，所以f′（x0）=0是x0為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)的必要不充分條件故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)取得極值的條件：函數(shù)在x0處取得極值?f′（x0）=0，且f′（x＜x0）?f′（x＞x0）＜0 2．函數(shù)y=1+3x﹣x3有（ ?。〢．極小值﹣1，極大值3 B．極小值﹣2，極大值3C．極小值﹣1，極大值1 D．極小值﹣2，極大值2【分析】利用導(dǎo)數(shù)工具去解決該函數(shù)極值的求解問題，關(guān)鍵要利用導(dǎo)數(shù)將原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間找出來，即可確定出在哪個(gè)點(diǎn)處取得極值，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵y=1+3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1，由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1，∴函數(shù)y=1+3x﹣x3的增區(qū)間是（﹣1，1），減區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．∴函數(shù)y=1+3x﹣x3在x=﹣1處有極小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1，函數(shù)y=1+3x﹣x3在x=1處有極大值f（1）=1+3﹣13=3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】利用導(dǎo)數(shù)工具求該函數(shù)的極值是解決該題的關(guān)鍵，要先確定出導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)的實(shí)數(shù)x的范圍，再討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值的判斷方法求出該函數(shù)的極值，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具作用 3．函數(shù)f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9，已知f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，則x1?x2=（ ）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1【分析】本題的函數(shù)為三次多項(xiàng)式函數(shù)，若三次多項(xiàng)式函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，說明它的導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的根求解，用韋達(dá)定理可得x1?x2=﹣1【解答】解：由f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9得，f′（x）=3x2+2ax﹣3f′（x）=0的兩根為x1，x2就是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)根據(jù)韋達(dá)定理，得 故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的又一個(gè)亮點(diǎn)． 4．函數(shù)的最大值為（ ?。〢． B．e2 C．e D．e﹣1【分析】利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，注意函數(shù)的定義域，極大值在本題中也是最大值；【解答】解：∵函數(shù)，（x＞0）∴y′=，令y′=0，得x=e，當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0，f（x）為減函數(shù)，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，f（x）為增函數(shù)，∴f（x）在x=e處取極大值，也是最大值，∴y最大值為f（e）==e﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，是一道基礎(chǔ)題； 5．已知a為函數(shù)f（x）=x3﹣12x的極小值點(diǎn)，則a=（ ）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=3x2﹣12，可通過判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f（x）的極小值點(diǎn)，從而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2時(shí)，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，x＞2時(shí)，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的極小值點(diǎn)；又a為f（x）的極小值點(diǎn)；∴a=2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)極小值點(diǎn)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法及過程，要熟悉二次函數(shù)的圖象． 6．已知函數(shù)y=x3﹣3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=（ ）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)y=x3﹣3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得極大值等于0或極小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函數(shù)在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調(diào)增，（﹣1，1）上單調(diào)減，∴函數(shù)在x=﹣1處取得
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