函數(shù)的單調(diào)性與最值-展示頁
2024-08-30 20:29本頁面
【正文】 蛋。 ? 有了這些結(jié)果以后，我們就可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)的性質(zhì)，這可以說是導(dǎo)數(shù)的一個重要應(yīng)用。0 ??? ????? xfx xfxxfx))(()()( 1239。 ? 利用拉格朗日中值定理還可以證明 ? 定理 2 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，在開區(qū)間（ a， b）內(nèi)可導(dǎo)，且 f ?(x) ? 0 （或 f ?(x) 0）， 則函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b] 內(nèi) 嚴(yán)格單調(diào)增加 （ 或嚴(yán)格單調(diào)減少 ）。即 f(x)為單調(diào)增加。 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上單調(diào)增加，在區(qū)間（ a， b）內(nèi)任取兩點 x, x+?x，有 ? （ 1）當(dāng) ?x? 0時，則 x x+?x，從而 f(x+?x) ? f(x)， 于是 f(x+?x) f(x) ? 0； ? （ 2）當(dāng) ?x 0時，則 x ? x+?x，從而 f(x+?x) ? f(x)， 于是 f(x+?x) f(x) ? 0； ? 綜合（ 1）、（ 2）即知，對任意的 ?x，恒有 ? 從而有 ? 充分性。 單調(diào)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ? 在本段中，我們將考慮函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號之間的關(guān)系，利用這種關(guān)系，就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號來研究函數(shù)的單調(diào)性。單調(diào)減函數(shù)的圖形是一條沿 x 軸正向逐漸下降的曲線。 函數(shù)單調(diào)的概念 ? 我們在函數(shù)的基本性質(zhì)中曾經(jīng)討論過函數(shù)的單調(diào)性問題，在此我們再次回顧一下函數(shù)單調(diào)的定義。 ? 定義 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間（ a， b）上有定義，如果對于區(qū)間（ a， b）內(nèi)的任意兩點 x1 ， x2 ，滿足 ? （ 1）當(dāng) x1 x2 時，恒有 f(x1) ? f(x2)（或 f(x1) f(x2)） ,則稱函數(shù) f(x)在開區(qū)間（ a， b）內(nèi) 單調(diào)增 （ 或嚴(yán)格單調(diào)增 ）； ? （ 2）當(dāng) x1 x2 時，恒有 f(x1) ? f(x2)（或 f(x1) ? f(x2)） ,則稱函數(shù) f(x)在開區(qū)間（ a， b）內(nèi) 單調(diào)減 （ 或嚴(yán)格單調(diào)減 ）； ? 一般情況下，單調(diào)增函數(shù)的圖形是一條沿 x 軸正向逐漸上升的曲線。 ? 如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的某些子區(qū)間上是單調(diào)增的，而在另一些子區(qū)間上是單調(diào)減的，則稱函數(shù)為分段單調(diào)函數(shù)。 ? 定理 1 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，在開區(qū)間（ a， b）內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a， b]上 單調(diào)增加 （ 或單調(diào)減少 ）的充分必要條件是 f ?(x) ? 0（或 f ?(x) ? 0 ）； ? 證明：必要性。 設(shè)函數(shù) f(x)在 開區(qū)間（ a， b）內(nèi)可導(dǎo)，且 f ?(x) ? 0，則對于 開區(qū)間（ a， b）內(nèi)的任意兩點 x1 ， x2 ，且設(shè) x1 x2 ，由拉格朗日中值定理可知，有 ? 由于 f ?(?) ? 0，因此，
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