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函數(shù)的單調(diào)性與最值-展示頁(yè)

2024-08-30 20:29本頁(yè)面
  

【正文】 蛋。 ? 有了這些結(jié)果以后,我們就可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷函數(shù)的性質(zhì),這可以說(shuō)是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要應(yīng)用。0 ??? ????? xfx xfxxfx))(()()( 1239。 ? 利用拉格朗日中值定理還可以證明 ? 定理 2 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間( a, b)內(nèi)可導(dǎo),且 f ?(x) ? 0 (或 f ?(x) 0), 則函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a, b] 內(nèi) 嚴(yán)格單調(diào)增加 ( 或嚴(yán)格單調(diào)減少 )。即 f(x)為單調(diào)增加。 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a, b]上單調(diào)增加,在區(qū)間( a, b)內(nèi)任取兩點(diǎn) x, x+?x,有 ? ( 1)當(dāng) ?x? 0時(shí),則 x x+?x,從而 f(x+?x) ? f(x), 于是 f(x+?x) f(x) ? 0; ? ( 2)當(dāng) ?x 0時(shí),則 x ? x+?x,從而 f(x+?x) ? f(x), 于是 f(x+?x) f(x) ? 0; ? 綜合( 1)、( 2)即知,對(duì)任意的 ?x,恒有 ? 從而有 ? 充分性。 單調(diào)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 ? 在本段中,我們將考慮函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系,利用這種關(guān)系,就可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性。單調(diào)減函數(shù)的圖形是一條沿 x 軸正向逐漸下降的曲線(xiàn)。 函數(shù)單調(diào)的概念 ? 我們?cè)诤瘮?shù)的基本性質(zhì)中曾經(jīng)討論過(guò)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,在此我們?cè)俅位仡櫼幌潞瘮?shù)單調(diào)的定義。 ? 定義 設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間( a, b)上有定義,如果對(duì)于區(qū)間( a, b)內(nèi)的任意兩點(diǎn) x1 , x2 ,滿(mǎn)足 ? ( 1)當(dāng) x1 x2 時(shí),恒有 f(x1) ? f(x2)(或 f(x1) f(x2)) ,則稱(chēng)函數(shù) f(x)在開(kāi)區(qū)間( a, b)內(nèi) 單調(diào)增 ( 或嚴(yán)格單調(diào)增 ); ? ( 2)當(dāng) x1 x2 時(shí),恒有 f(x1) ? f(x2)(或 f(x1) ? f(x2)) ,則稱(chēng)函數(shù) f(x)在開(kāi)區(qū)間( a, b)內(nèi) 單調(diào)減 ( 或嚴(yán)格單調(diào)減 ); ? 一般情況下,單調(diào)增函數(shù)的圖形是一條沿 x 軸正向逐漸上升的曲線(xiàn)。 ? 如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的某些子區(qū)間上是單調(diào)增的,而在另一些子區(qū)間上是單調(diào)減的,則稱(chēng)函數(shù)為分段單調(diào)函數(shù)。 ? 定理 1 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間( a, b)內(nèi)可導(dǎo),則函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a, b]上 單調(diào)增加 ( 或單調(diào)減少 )的充分必要條件是 f ?(x) ? 0(或 f ?(x) ? 0 ); ? 證明:必要性。 設(shè)函數(shù) f(x)在 開(kāi)區(qū)間( a, b)內(nèi)可導(dǎo),且 f ?(x) ? 0,則對(duì)于 開(kāi)區(qū)間( a, b)內(nèi)的任意兩點(diǎn) x1 , x2 ,且設(shè) x1 x2 ,由拉格朗日中值定理可知,有 ? 由于 f ?(?) ? 0,因此,
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