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WORD格式整理 。限于篇幅，關(guān)于傅里葉分析理論中兩個(gè)極其重要的概念拉普拉斯變換和Z變換本文并不涉及。我們對(duì)信號(hào)及其頻譜進(jìn)行有限長(zhǎng)取樣，從而引入離散傅里葉變換DFT，這是對(duì)信號(hào)頻譜分析的逼近。然后對(duì)信號(hào)的離散化處理和離散信號(hào)的采樣與抽取進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹以加深對(duì)傅里葉變換的認(rèn)識(shí)。 本文從基本概念出發(fā)，介紹了傅里葉變換的基本內(nèi)容，并分析討論了各種傅里葉變換的概念及其相互間的關(guān)系。使得傅里葉變換在信號(hào)分析領(lǐng)域得以廣泛運(yùn)用的原因。也正是由于各種快速算法的提出，大大提高了DFT的運(yùn)算速度，使得DFT能夠在信號(hào)處理中得到廣泛的應(yīng)用，并極大促進(jìn)了數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展。所以，M級(jí)運(yùn)算總的復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為 lb （） 復(fù)數(shù)加法次數(shù)為 lb （） 所以對(duì)比直接計(jì)算N點(diǎn)DFT，DITFFT大大減少了運(yùn)算次數(shù)。 8點(diǎn)DFT一次時(shí)域抽取分解運(yùn)算流圖Figure The flow diagram of one time deposition operation in 8 point DFT 依照上述方法，對(duì)信號(hào)進(jìn)行M次分解最后將N點(diǎn)DFT分解成N個(gè)1點(diǎn)DFT和M級(jí)蝶形運(yùn)算，而一點(diǎn)DFT就是時(shí)域序列本身。（）和（），稱為蝶形運(yùn)算符號(hào)。按n的奇偶將分解為兩個(gè)點(diǎn)的子序列 則的DFT為 因?yàn)椋? 所以 （） 其中和分別為和的點(diǎn)DFT。在此，我們僅以時(shí)域抽取基2FFT算法（簡(jiǎn)稱DITFFT）為例進(jìn)行討論。其周期性表現(xiàn)為 （） 其對(duì)稱性表現(xiàn)為 （) （） FFT算法就是不斷把長(zhǎng)序列的DFT分解成幾個(gè)短序列的DFT，并利用的周期性和對(duì)稱性來(lái)減少DFT的運(yùn)算次數(shù)。顯然，把N點(diǎn)DFT分解為幾個(gè)較短的DFT可使乘法次數(shù)大大減少。其突出的優(yōu)點(diǎn)在于能快速高效地和比較精確地完成 DFT 的計(jì)算。這些算法，稱之為快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）。這大大限制了DFT算法的使用。這就是可以用離散傅里葉變換DFT來(lái)擬合連續(xù)信號(hào)頻譜的基本思路。對(duì)于從等間隔取樣的序列，其N(xiāo)點(diǎn)DFT就是對(duì)的離散時(shí)間傅里葉變換在上的等間隔采樣，用表示，在前邊的討論中我們知道，當(dāng)變換區(qū)間長(zhǎng)度N大于序列的長(zhǎng)度時(shí)，對(duì)進(jìn)行IDFT變能還原序列。對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)以采樣間隔進(jìn)行等間隔脈沖采樣，則其頻譜以進(jìn)行周期性延拓，當(dāng)采樣頻率大于兩倍的最高頻率時(shí)，將不產(chǎn)生頻譜混疊，于是對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行低通濾波處理便可恢復(fù)原信號(hào)。而DFT對(duì)應(yīng)的是有限長(zhǎng)序列和有限點(diǎn)頻域采樣，故對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)進(jìn)行DFT處理時(shí)通常先對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)濾波和截取處理，使信號(hào)滿足DFT的要求，當(dāng)然這也必然引入誤差，這不是本文所要討論的內(nèi)容。 [18]，并直觀的理解用DFT對(duì)連續(xù)非周期信號(hào)進(jìn)行頻譜分析的方法。而DFT是對(duì)連續(xù)信號(hào)時(shí)域和頻率的采樣，是離散的傅里葉變換，適合數(shù)值運(yùn)算。 基于DFT的信號(hào)頻譜分析所謂信號(hào)的頻譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換，獲得信號(hào)的頻譜函數(shù)，研究信號(hào)的頻譜特性。由于可以用矩陣法和利用DFT計(jì)算循環(huán)卷積，故在滿足時(shí)，我們也可以用相同的方法計(jì)算線性卷積。在L很大的情況下，這種算法將大大提高計(jì)算速度。它說(shuō)明了線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系。 關(guān)于線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系，我們對(duì)比線性卷積和循環(huán)卷積的定義式，假設(shè)與的長(zhǎng)度分別為N和M，有： （） （） 其中。 序列及其循環(huán)卷積波形Figure Sequence and its cyclic convolution waveform 循環(huán)卷積定理表明，對(duì)于式（）所示卷積，的L點(diǎn)DFT為： （） 其中。在線性卷積中，對(duì)于給定序列，其線性卷積結(jié)果確定；而在循環(huán)卷積中，由于卷積結(jié)果受卷積長(zhǎng)度L影響，故對(duì)給定序列，不同的卷積長(zhǎng)度可能有不同的卷積結(jié)果。 觀察（）式，我們可以建立一個(gè)的L點(diǎn)“循環(huán)卷積矩陣”： 并可得：（） 上式，就是在計(jì)算機(jī)上用矩陣相乘的方法計(jì)算兩個(gè)序列的循環(huán)卷積。用表示循環(huán)卷積，表示L點(diǎn)循環(huán)卷積，所以上式表示為。循環(huán)卷積與線性卷積具有一定的關(guān)系使得循環(huán)卷積定理具有很強(qiáng)的實(shí)用性，在計(jì)算系統(tǒng)輸出以及用FFT實(shí)現(xiàn)FIR濾波器等都是以該定理為基礎(chǔ)。所以，當(dāng)時(shí)，序列的離散時(shí)間傅里葉變換在上的N點(diǎn)等間隔采樣信號(hào)可恢復(fù)。當(dāng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行16點(diǎn)DFT時(shí)，其IDFT將產(chǎn)生混疊失真（如(d)所示）；但對(duì)信號(hào)進(jìn)行32點(diǎn)DFT時(shí)，其IDFT與原信號(hào)相同，順利恢復(fù)原序列。這就是頻域采樣定理的內(nèi)容。 將（）式代入上式化簡(jiǎn)得： （） 所以： （）式（）說(shuō)明，在上的N點(diǎn)等間隔采樣的N點(diǎn)IDFT是原序列以N為周期進(jìn)行周期擴(kuò)展后的主值序列。 的FT與DFT的幅度特性關(guān)系Figure The relationship with amplitude characteristics between FT and DFT 頻率域采樣 在時(shí)域中，在一定條件下可由連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣值恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。 序列的離散時(shí)間傅里葉變換為： 所以有： （） 式（）表明了離散傅里葉變換的物理意義[15]，即為的離散時(shí)間傅里葉變換在區(qū)間上的N點(diǎn)等間隔采樣?；诖耍覀兌x長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列的N點(diǎn)離散傅里葉變換： （） （） 式中，N稱為DFT變換區(qū)間長(zhǎng)度，可證的具有唯一性[15]。 離散傅里葉變換（DFT） 在離散傅里葉級(jí)數(shù)的變換中，我們已知與都是以N為周期的序列。為了與離散傅里葉變換（DFT）相對(duì)應(yīng)，定義，稱為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，用DFS表示。周期信號(hào)可以看成非周期信號(hào)的周期性擴(kuò)展?；诖?，我們引入離散時(shí)間傅里葉變換（DFT），它是為了適應(yīng)利用計(jì)算機(jī)分析傅里葉變換而規(guī)定的一種專門(mén)運(yùn)算, 是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜分析的逼近[14]。然而以上討論的信號(hào)處理方式都是連續(xù)函數(shù)或者以積分的形式出現(xiàn)，這樣不利于計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。故的頻譜和的頻譜間存在一種伸縮變換的關(guān)系。我們知道對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，其離散時(shí)間傅里葉變換的頻譜就是原連續(xù)信號(hào)頻譜周期擴(kuò)展后的尺度變換，換句話說(shuō)就是對(duì)脈沖采樣信號(hào)頻譜的歸一化過(guò)程。如果原來(lái)序列的頻譜被適當(dāng)?shù)膸蓿灾劣谠谥胁淮嬖诨殳B，抽取的效果就是將原來(lái)序列的頻譜擴(kuò)展到一個(gè)較寬的頻帶部分。 （） 序列采樣與抽取間的關(guān)系Figure The relationship between the sequence of sampling and extraction為了確定抽取在頻域中的效果，希望能求得的傅里葉變換和之間的關(guān)系。在對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行脈沖采樣是，采樣點(diǎn)間間隔多個(gè)零點(diǎn)，這使得直接表示、傳輸和存儲(chǔ)序列時(shí)將帶來(lái)不必要的浪費(fèi)。 離散時(shí)間信號(hào)的采樣與抽取 離散信號(hào)與連續(xù)信號(hào)有很多相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣定理是連續(xù)信號(hào)就行傅里葉分析的一個(gè)極其重要的定理，而離散時(shí)間信號(hào)是否具有類(lèi)似的采樣定理呢？ 離散時(shí)間信號(hào)的采樣Figure Discrete time signal sampling 其中 （） 所以，在頻域內(nèi)就有 （） 采樣序列的離散時(shí)間傅里葉變換為 （） 式中采樣頻率，所以得 （） 一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)