傅里葉變換詳解(參考版)
2025-07-29 18:28本頁(yè)面
【正文】 第七章 傅里葉變換 在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為 較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，人們常采用變換的方法來(lái)達(dá)到目的．例如 在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換化為較 簡(jiǎn)單的加法和減法運(yùn)算．在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎? 析運(yùn)算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，正是積分變換 的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 為重要的方法之一． 積分變換的理論方法 不僅在數(shù)學(xué)的諸 多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中， 例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無(wú)線電技術(shù)以及信號(hào)處理 等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用． 所謂積分變換 ，就是把某函數(shù)類(lèi) A中的任意一個(gè)函數(shù) ，經(jīng)過(guò)某種 可逆的積分方法 （即為通過(guò)含參變量 的積分） 變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類(lèi) B中的函數(shù) 這里 是一個(gè)確 定的二元函數(shù)，通常稱(chēng)為 該積分變換的核 ． 稱(chēng)為 的 像函數(shù)或簡(jiǎn)稱(chēng)為像 ， 稱(chēng)為 的 原函數(shù) ． 在這樣的積分變換下，微分運(yùn)算可變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算，原來(lái)的偏微分方程可以減少自變量的個(gè)數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；原來(lái)的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易在像函數(shù)類(lèi) B中找到解的像；再經(jīng)過(guò)逆變換，便可以得到原來(lái)要在 A中所求的解，而且是顯式解． 另外需要說(shuō)明的是，當(dāng)選取不同的 積分區(qū)域和核函數(shù) 時(shí)， 就得到不同名稱(chēng)的 積分變換 : （ 1）特別當(dāng)核函數(shù) （注意已將積分參 變量 改寫(xiě)為變量 ），當(dāng) ，則 稱(chēng)函數(shù) 為函數(shù) 的 傅里葉（ Fourier）變換， 簡(jiǎn)稱(chēng) 為函數(shù) 的 傅氏變換 ．同時(shí)我們稱(chēng) 為 的 傅里葉逆變換． （ 2）特別當(dāng)核函數(shù) （注意已將積分參變量 改寫(xiě)為變量 ），當(dāng) ，則 稱(chēng)函數(shù) 為函數(shù) 的 拉普拉斯 (Laplace)變換 ，簡(jiǎn)稱(chēng) 為函數(shù) 的 拉氏變換 ．同時(shí)我們稱(chēng) 為 的 拉氏逆變換． 傅里葉級(jí)數(shù) 本節(jié)簡(jiǎn)明扼要地復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的傅里葉級(jí)數(shù)基本內(nèi)容 周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi) 定義 傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式 傅里葉系數(shù) 若函數(shù) 以 為 周期 ，即為 的光滑或分段光滑函數(shù)，且定義域?yàn)? ，則可取三角 函數(shù)族 () 作為 基本函數(shù)族 ，將 展開(kāi)為 傅里葉級(jí)數(shù) （即下式右端 級(jí)數(shù)） () 式（
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