傅里葉變換詳解-展示頁
2025-08-04 18:28本頁面
【正文】 傅里葉積分 傅里葉積分表示式 設(shè)非周期函數(shù) 為一個(gè)周期函數(shù) 當(dāng)周期 時(shí)的極限情形．這樣， 的傅里葉級數(shù)展開式 () 在 時(shí)的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù) 的傅里葉展開．下面我們研究這一極限過程： 設(shè)不連續(xù)的參量 故（ ）為 （ ） 傅里葉系數(shù)為 () 代入到 ()，然后取 的極限． 對于系數(shù) ，若 有限，則 而 余弦部分 為 當(dāng) ，不連續(xù)參變量 變?yōu)? 連續(xù)參量，以符號 代替．對 的求和變?yōu)閷B續(xù)參量 的積分，上式變?yōu)? 同理可得正弦部分 若令 （ ） 式（ ）稱為 的（實(shí)數(shù)形式）傅里葉變換式． 故（ ）在 時(shí)的極限形式變?yōu)椋ㄗ⒁獾? ） () 上式 ()右邊的積分稱為 （實(shí)數(shù)形式） 傅里葉積分． ()式稱為 非周期函數(shù) 的（實(shí)數(shù)形式）傅里 葉積分表示式． 事實(shí)上，上式（ ）還可以進(jìn)一步改寫為 （ ） 上式 ()的物理意義為： 稱為 的 振幅譜 ， 稱為 的 相位譜 ．可以對應(yīng)于物理現(xiàn)象中波動(dòng)（或振動(dòng)） 我們把上述推導(dǎo)歸納為下述嚴(yán)格定理： 1．傅里葉積分定理 定理 傅里葉積分定理 若函數(shù) 在區(qū)間 上滿足條件 （ 1） 在任一有限區(qū)間上滿足 狄利克雷 條件； （ 2） 在 上絕對可積，則 里葉積分形式（ )， 可表為傅 且在 的連續(xù)點(diǎn)處傅里葉積分值＝ ；在間斷點(diǎn)處傅里葉積分值＝ 2．奇函數(shù)的傅里葉積分 定義 實(shí)數(shù)形式的傅里葉正弦積分 傅里葉正弦變換 若 為奇函數(shù)，我們可推得奇函數(shù) 分為傅里葉正弦積分： 的傅里葉積 () 式（ ）滿足條件 其中 是 的 傅 里葉正弦變換： （ ） 3. 偶函數(shù)的傅里葉積分 定義 實(shí)數(shù)形式的傅里葉余弦積分 傅里葉余弦變換 若 為偶函數(shù)， 的傅里葉積分為 傅里葉余弦積分 ： () 式（ ）滿足條件 ．其中 是 的 傅里葉余弦變換 ： （ ） 上述公式可以寫成另一種對稱的形式 （ ） () 復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分 定義 復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分 復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換式
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