【正文】 頻率關(guān)系的圖形稱為 振幅頻譜 描述各次諧波 相位 與頻率關(guān)系的圖形稱為 相位頻譜 典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) nA n?則對(duì)應(yīng)的振幅頻譜 和相位頻譜 稱為 單邊頻譜 。 其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦和余弦波的 偶次諧波分量 。 其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦和余弦項(xiàng)的 奇次諧波分量 。有： an是 nω 1的偶函數(shù)， bn是 nω 1奇函數(shù)， 〔 例 〕 如圖所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 在三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式中， a0是 直流成分 ； a1cosω 1t, b1sinω 1t稱為 基波分量 ， ω 1=2π /T1為 基波頻率 ； ancosω 1nt, bnsinω 1nt稱 n次 諧波分量 。稱為周期信號(hào) f(t)的 余弦型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 但在電子、通信、控制等工程技術(shù)中的周期信號(hào)一般都能滿足這個(gè)條件，故以后一般不再特別注明此條件。 ),2,1,0)]} (([{ ??????? nnTtTS a ?xxxSas i n)( ? 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式： 從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)才可展開為傅里葉級(jí)數(shù)。 nω1t (3) 函數(shù)集 在區(qū)間 (∞ ， ∞ )內(nèi)，對(duì)于 有限帶寬信號(hào)類來說是一個(gè)完備的正交函數(shù)集 。而函數(shù)集 {cosnω 1t},{sin nω 1t}，也是正交函數(shù)集，但它們均不是完備的。 結(jié)論： 一個(gè)函數(shù)集是否正交， 與它所在區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可能正交， 而在另一區(qū)間又可能不正交。 0c o ss i n10c o ss i n12020??????n t d ttnn t d ttn??時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)(3) 當(dāng) i≠r 時(shí) 對(duì)于任意整數(shù)，此式并不恒等于零。 當(dāng) i=r時(shí) (2) 因?yàn)閷?duì)于非零函數(shù) sint，有 即 sint在區(qū)間 (0， 2π) 內(nèi)與 {cosnt}正交。定理 2也稱為帕塞瓦爾定理。 式中， Ci為加權(quán)系數(shù)，且有 )()()()( 2211 tfCtfCtfCtf nn???? ??? ( 3 9 ) 常稱正交展開式，有時(shí)也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級(jí)數(shù)， Ci稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。 ? ? ? ? ?? ?210)()(ttiri rikrid ttftf ( 3 6 )? ? ? ? ?? ?21 10)()(tt ri ririd ttftf ( 3 7 )二、 完備的正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集 {f1(t)， f2(t),… , fn(t) }之外，找不到另外一個(gè) 非零函數(shù) {fi(t)}與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為 完備正交函數(shù)集。 Ki為一正數(shù)。 4 傅里葉生平 ? 1768年生于法國 ? 1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示” ? 1807年向巴黎科學(xué)院呈交《熱的傳播》論文， 推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ? 1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件 傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) —— ? “周期信號(hào)都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和” —— 傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn) ? “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示” —— 傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn) 一、 正交函數(shù)與正交函數(shù)集 設(shè) f1(t)和 f2(t)是定義在 (t1,t2)區(qū)間上的兩個(gè)實(shí)變函數(shù) (信號(hào) )，若在 (t1,t2)區(qū)間上有 則稱 f1(t)和 f2(t) 在 (t1,t2)內(nèi)正交。 傅里葉級(jí)數(shù)與變換的應(yīng)用 物理學(xué)、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué) 等。第三章 傅里葉變換 ◆ 信號(hào)的正交分解 ◆ 傅里葉級(jí)數(shù) ◆ 周期信號(hào)的頻譜 ◆ 傅里葉變換 ◆ 抽樣信號(hào)與抽樣定理 將以上兩圖簡(jiǎn)化： 引 言 傅里葉級(jí)數(shù)的發(fā)展史： 1807年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉提出 “ 任何 ” 周期信號(hào)都可以利用正弦級(jí)數(shù)來表示。 1829年，狄義赫利指出，周期信號(hào)只有滿足了若干限制條件，才能用傅里葉級(jí)數(shù)來表示。 EG： 反映地球氣候的周期性變化很自然地會(huì)引入正弦信號(hào)； 交流電源產(chǎn)生的正弦電壓和電流； 無線電臺(tái)和電視臺(tái)發(fā)射的信號(hào)都是正弦的。 信號(hào)的正交分解 若 f1(t)， f2(t),… , fn(t)定義在 (t1,t2)區(qū)間上，并且在 (t1,t2) 內(nèi)有 則 {f1(t)， f2(t),… , fn(t)} 在 (t1,t2)內(nèi)稱為 正交函數(shù)集 ，其中 i, r=1,2,… ,n。 {f1(t)， f2(t),… , fn(t)}稱為 歸一化正交函數(shù)集 。 定理 1: 設(shè) {f1(t)， f2(t),… , fn(t) }在 (t1,t2)區(qū)間內(nèi)是某一類信號(hào) (函數(shù) )的 完備正交函數(shù)集 ，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào) f(t)都可以精確地 表示為 {f1(t)，f2(t),… , fn(t) }的 線性組合 。 式子可以理解為： f(t)的能量等于各個(gè)分量的能量之和， 即反映能量守恒。 定理 2 在式 條件下，有 )()()()( 2211 tfCtfCtfCtf nn???? ??? ( 3 9 )〔 例 〕 已知余弦函數(shù)集{cost,cos2t,… ,cosnt}(n為整數(shù) ) (1) 證明該函數(shù)集在區(qū)間 (0,2π) 內(nèi)為正交函數(shù)集； (2) 該函數(shù)集在區(qū)間 (0， 2π) 內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎 ? (3) 該函數(shù)集在區(qū)間 (0， π/2) 內(nèi)是正交函數(shù)集嗎 ? 解 :(1) 因?yàn)楫?dāng) i≠r 時(shí) 可見該函數(shù)集在區(qū)間 (0， 2π) 內(nèi)滿足正交函數(shù)集的定義式，故它在區(qū)間 (0， 2π) 內(nèi)是一個(gè)正交函數(shù)集。故函數(shù)集 {cosnt}在區(qū)間 (0， 2π) 內(nèi) 不是完備正交函數(shù)集 。因此，根據(jù)正交函數(shù)集的定義， 該函數(shù)集 {cosnt}在區(qū)間 (0,π /2)內(nèi)不是正交函數(shù)集 。 ? ???2/0 22 ]2s i n2c os2c os2s i n[1c osc os? ???? rirriirir t dtit三、 常見的完備正交函數(shù)集 (1)三角函數(shù)集 {cos nω 1t， sin nω 1t}(n=0,1,2… ) 在區(qū)間（ t0,t0+T）內(nèi)，有 ??????????????TttmnTmnTmnt d tmtn00)0()(2)(0c o sc o sω1 ω1 ? ? ??? ? ??????Ttt mnT mnmnt dtmtn00 2 )0,(0s i ns i nω1 ω1 ? ? ???Ttt t dtmtn00 0c oss i nω1 ω1 ???2T ω 在（ t0,t0+T）區(qū)間內(nèi)， 三角函數(shù)集對(duì)于周期為 T的信號(hào)組成正交函數(shù)集， 而且是完備的正交函數(shù)集(其完備性在此不討論 )。 (2) 函數(shù)集 在（ t0,t0+T）區(qū)間內(nèi)，對(duì)于周期為 T的一類周期信號(hào)來說，也是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。這里 稱為抽樣函數(shù)。 （ 1）在一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是有限的； （ 2）在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的個(gè)數(shù)是有限的； （ 3）在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)時(shí)絕對(duì)可積的。 周期信號(hào)可分解為 (三角型傅里葉級(jí)數(shù) ): )]s i n ()c o s ([. ..)s i n ()c o s (. ..)2s i n ()2c o s ()s i n ()c o s ()(111011121211110tnbtnaatnbtnatbtatbtaatfnnnnn???????????????????????? ?? 100 )(110Ttt dttfTa直流分量：? ?? 100 )c os ()(2 11Tttn dttntfTa ?余弦分量的幅度：? ?? 100 )s i n()(2 11Tttn dttntfTb ?正弦分量的幅度： 周期信號(hào)可以分解為各次諧波之和。 )c os ()( 110 nnntncctf ?? ??? ???)s i n()( 110 nnntnddtf ?? ??? ???nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaabdcbdcabadcdcaa r c t a na r c t a nc o ss i ns i nc o s22000???????????????????另一種形式 : 任何周期信號(hào)，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正 (余 )弦信號(hào)的線性組合。 直流分量的大小，基波分量和各次諧波的振幅、相位取決于周期信號(hào)的波形。 t????? ??2? ?2f ( t )圖 3 3解 : 由圖可知，該信號(hào) f(t)在一個(gè)周期區(qū)間 (π,π) 內(nèi)，有 由三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式，得 故該信號(hào) f(t)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 ????????????ttttf0)(. .. )2,1,0(,00 ??? naa nnnnt dtntbnn2)1(c os2s i n1 1??? ???????? ??ω1 12 ??? T?ω1 ω1 ω1 ω1 二、指數(shù)形式 與三角型傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)關(guān)系 dtetfTFnF Tt tjnn ? ? ??? 0 1011 )(1)( ??0000 dcaF ???)(21 nnn jbaF ??)(21 nnn jbaF ???三、周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 偶函數(shù) 若周期信號(hào) f(t)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的，即滿足 f(t)=f(t)