【正文】 ????????????? ???????????kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代入則令已知偶數(shù) 12N0 , 1 , 2 , . . . ,k ( k ) ,RX ( ( k ) )10 , 1 , . . . , 2 Nk),()39。1039。0 .5 n10 ,1 ,. .. ,2 Nk ,0)()()( 1N0 ,1 ,. .. ,k ,)()( 2NN1039。(,2 n 39。22122120210?????????????????????????????kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代入則令已知偶數(shù)12N0 ,1 ,2 ,. .. ,k ( k) ,RX ( ( k) ) 10 ,1 ,. .. ,2 Nk),()39。1039。0 . 5 n10 , 1 , . . . , 2 Nk ,0)()()( 1N0 , 1 , . . . ,k ,)()( 2NN1039。(,2 n 39。22122120210?????????????????????????????kXWnxWnxWnxWnykYWnxkXNnknNNnknNNnknNNnknNNnknN代入則令已知偶數(shù)12N0 , 1 , 2 , . . . ,k ( k ) ,RX ( ( k ) )10 , 1 , . . . , 2 Nk),()39。1039。0 . 5 n10 , 1 , . . . , 2 Nk ,0)()()( 1N0 , 1 , . . . ,k ,)()( 2NN1039。(,2 n 39。 解： 已知 離散傅里葉變換的定義 12N0 , 1 , 2 , . . . ,k ( k ) ,RX ( ( k ) )10 , 1 , . . . , 2 Nk),()39。 離散傅里葉變換的定義 n x(n) 1 0 1 2 3 4 n x((n))5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 4 5 [例 2]： 已知長度為 N的一個有限長序列 x(n)，其 N點 DFT為 X(k)。 總結(jié)： 是 x(n)周期延拓序列 x(n)是 主值序列 離散傅里葉變換的定義 ~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~~( ) ( ) ( 3. 1. 5 )( ) ( ) ( ) ( 3. 1. 6)mNx n x n mNx n x n R n?? ???????~~( ) ( ) ( 3. 1. 5 )( ) ( ) ( ) ( 3. 1. 6)mNx n x n mNx n x n R n?? ???????? 0 )(~nxn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? N1 ? ? ? ? ? 0 n )(nxN1 ~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?~( ) ( ) ()Nx n x n?為了以后敘述方便， 可用如下形式表示： ((n))N表示 n對 N求余 ， 即如果 n=MN+n1， 0≤n 1≤N 1， M為整數(shù) ， 則： ((n))N=n1 [例 ]： 設(shè) N＝ 5， 則有： 離散傅里葉變換的定義 ~ ( ) ( ) ()Nx n x n?x((n))N 表示 ： x(n)以 N為周期的周期延拓序列。 離散傅里葉變換的定義 DFT的隱含周期性 在 DFT變換的定義對中 ， x(n)與 X(k)均為有限長序列 。 (3)變換區(qū)間 長度 N不同，變換結(jié)果不同，N確定后， X(k)與 x(n)是一一對應(yīng)的。 DFT和 Z變換的關(guān)系 設(shè)序列 x(n)的長度為 N， 其 Z變換和 DFT分別為： 比較上面二式可得 關(guān)系式 離散傅里葉變換的定義 1010( ) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( ) 0 k N 1NnnNknNnX z Z T x n x n zX k D F T x n x n W???????? ? ? ??? 1010( ) [ ( ) ] ( )( ) [ ( ) ] ( ) 0 k N 1NnnNknNnX z Z T x n x n zX k D F T x n x n W???????? ? ? ???22( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3. 1. 3)( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3. 1. 4)jkNzejkNX k X zX k X z??????? ? ?? ? ?22( ) ( ) , 0 k N1 ()( ) ( ) , 0 k N1 ()jkNzej kNX k X zX k X z?? ????? ? ?? ? ?22( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3. 1. 3)( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3. 1. 4)jkNzejkNX k X zX k X z??????? ? ?? ? ?e 22( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3. 1. 3)( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3. 1. 4)jkNzejkNX k zX k z??????? ? ?? ? ?DFT的物理意義 ： (1)x(n)的 N點 DFT 是 x(n)的 Z變換在 單位圓上 N點等間隔采樣。 離散傅里葉變換的定義 110011()001[ ( ) ] [ ( ) ]1()NNm k k nNNkmNNk m nNmkI D F T X k x m W WNx m WN????????????????110011()001[ ( ) ] [ ( ) ]1()NNm k k nNNkmNNk m nNmkI D F T X k x m W WNx m WN????????????????11,()0,01 {N m n M N Mk m nN m n M N MkWN?????????M為整數(shù) [例 ] 序列 x(n)=R4(n) ， 求 x(n)的 8點和 16點 DFT 。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。 , N 1 (3 . 1 . 2 )N knNnX k D F T x n X n WN????? ?101( ) [ ( )] ( , k=0, 1, amp。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, , N1 ()N knNnXk DFTxn XnWN?????? 101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。, N1 ()N knNnXk DFTxn XnWN??????… 101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。 , N 1 ( 3. 1. 1)NknNnX k DFT x n x n W???? ?10( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。 ? DFT具有多種快速算法 (FFT)，實現(xiàn)了信號的 實時處理 和設(shè)備的簡化。本章主要內(nèi)容 ? 離散傅里葉變換的定義 ? 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) ? 頻率域采樣 ? 離散傅里葉變換的應(yīng)用舉例 離散傅里葉變換 (DFT) DFT變換的實質(zhì)： 有限長序列的傅里葉變換的有限點離散采樣 (時域和頻域都是離散化的有限點長的序列 )。 DFT變換的意義： ? 開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域中進(jìn)行處理，增加了數(shù)字信號處理的靈活性。 離散傅里葉變換 (DFT) DFT的定義 設(shè) x(n)是一個長度為 M的有限長序列 ， 則定義 x(n)的 N點 離散傅里葉變換 為 : X(k)的離散傅里葉 逆變換 (IDFT)為： 離散傅里葉變換的定義 10( ) [ ( ) ] ( ) , k = 0, 1 , amp。, N1 ()NknNnX k DFT x n x n W????? … 旋轉(zhuǎn)因子： NjNNnknN eWWnxnxD F TkX?210 1,N0 ,1 ,...,k )()]([)( ??????? ? 旋轉(zhuǎn)因子，N為變換區(qū)間的長度， N≥M 101() [()] () , k=0, 1, amp。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN??????101( ) [ ( )] ( ) , k = 0 , 1 , amp。, N1 ()N knnX k DFT x n XN??????I 101) [ ( )] ( ) , k=0, 1, amp。, N1 ()N knNnX k DFT x n X nWN ? ?????k=0 IDFT[X(k)]唯一性的證明 由于： 所以 ， 在變換區(qū)間上滿足下式： IDFT[X(k)]=x(n), 0≤n≤N 1 離散傅里葉逆變換是唯一的 。 解 : (1) 設(shè)變換區(qū)間 N=8， 則 ： (2) 設(shè)變換區(qū)間 N=16， 則 離散傅里葉變換的定義 273880038( ) ( )si n ( )2, 0 , 1 , , 7si n ( )8j k nknnNjkX k x n W ekekk??????????? ? ?????273880038( ) ( )si n ( )2 , 0 , 1 , , 7si n ( )8j k nknnNjkX k x n W ekekk??????????? ? ? ? ???273880038( ) ( )sin( )2 , 0,1, ,7sin( )8j knknnNjkX k x nW ekekk????????? ? ?????3 28838( ) ( )si n ( )2, 0,1, , 7si n ( )8j k nknjkX k x n W ekk??????? ? ??? 0, 1,. ..1 5k ,)16s i n ()4