傅里葉變換和拉普拉斯變換(參考版)
2025-06-29 16:22本頁面
【正文】 圖54。它們在形式上有差別，但在本質(zhì)上是一致的。 (523)(2) 若為的m階重根［即為的m階極點］，則其留數(shù)為 (1) 若為的單根［即為的一階極點］，則其留數(shù)為這樣，求拉普拉斯反變換的運(yùn)算，就轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在的全部極點上留數(shù)的代數(shù)和，即式中 為的極點，亦即的根；為極點的留數(shù)。閉合回線確定的原則是：必須把的全部極點都包圍在此閉合回線的內(nèi)部。直接求這個積分是很困難的，但從復(fù)變函數(shù)論知，可將求此線積分的問題，轉(zhuǎn)化為求的全部極點在一個閉合回線內(nèi)部的全部留數(shù)的代數(shù)和。 證畢。 于是得 (512)現(xiàn)對式(512)推導(dǎo)如下：給式(511)等號兩端同乘以，即有 待定常數(shù)按下式求得，即 (511)式中，(i=1,2,…,n)為待定常數(shù)。此時可將D(s)進(jìn)行因式分解，而將式(510)寫成如下的形式，并展開成部分分式。分兩種情況研究：(1) 分母多項式的根為n個單根。對應(yīng)于多項式各項的時間函數(shù)是沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)與沖激函數(shù)本身。欲將展開成部分分式，首先應(yīng)將式(510)化成真分式。 (510) 式中，, , …, 和, , …, 等均為實系數(shù)； m和n均為正整數(shù)。通常有兩種方法。 表52 拉普拉斯變換表 序號112345678910111213141516171819
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