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傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質及應用(參考版)

2025-06-29 16:09本頁面
  

【正文】 Sons Inc24。兩種變換的相關理論應用是一個廣泛的領域,將來可能會有更多精彩的應用,希望大家通過這篇論文,對進一步研究這兩種變換產生興趣,將它們運用到更多地方。都可以可用于解微分,積分方程。斯變換的特例,里葉變換要寬, 總結本文先介紹了一些傅里葉變換的基礎知識,先后介紹了兩種不變換的性質,對重要的性質或定理進行了證明,并且介紹了兩種變換的應用,列舉了一些立體加以說明,最后總結了一下兩種變換的關系。的拉普拉斯變換的本質是fteβt的傅里葉變換,對于 來說,數(原函數乘以指數衰減函數項),分因子(ds=idω),這種變換就是的拉普拉斯變換。s 對原方程兩邊做拉普拉斯變換得:s2X39。 =ddss2Xssx0x39。=ddsLx39。0=0的解 解 (微分性質)可知Ltx39。+1nx39。 對每個像函數取逆變換: xt=L14s214s2(s21)=14L13s21+1s2 =14(3sh t+t)yt=L11s(s21)=L11sss21 =1ch t zt=L114s2(s21)=14L11s211s2 =14(sh tt)(變系數線性微分方程組) 求tx39。=0 滿足x0=y0=z0=0的解 解 設Lxt=X(s),Lyt=Y(s),Lzt=Z(s)。=1x+y39。t≥b(常系數線性微分方程組) 求x39。 (延遲性質)若L[ft]=Fs,t<0時ft=0,則?τ>0,τ為常數,有:Lftτ=esτFs (卷積定理) 如果F1s=L[f1t],F2s=L[f2t],那么Lf1t*f2t=F1sF2s 或者L1F1sF2s=f1t*f2t 證明 由定義有:Lf1t*f2t=0+∞f1t*f2testdt =0+∞0tf1τf2tτdτestdt 由于二重積分絕對可積,可交換積分次序:Lf1t*f2t=0+∞f1ττ+∞f2tτestdtdτ 令tτ=u:τ+∞f2tτestdt=0+∞f2uesu+tdu =esτF2s 故:Lf1t*f2t=0+∞f1τesτF2sdτ =F2s0+∞f1τesτdτ =F1sF2s (組) (線性微分方程) 求y39。 證明 令ht=0tftdt,則ht=ft,h0=0,則:Lh39。0…fn10 (Re s>c) 更一般的,?n∈Z+,有:Lfnt=snFssn1f0sn2f39。 對上面的解取傅里葉逆變換,(δ函數的篩選性質) 原定解問題的解為: ux,t= F1Uω,t=12π∞+∞πcosωt+πωjsinωtδω+1+πcosωtπωjsinωtδω1ejωtdω=sintejxejx2j+costejx+ejx2=sintsinx
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