傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質及應用(參考版)
2025-06-29 16:09本頁面
【正文】 Sons Inc24。兩種變換的相關理論應用是一個廣泛的領域，將來可能會有更多精彩的應用，希望大家通過這篇論文，對進一步研究這兩種變換產生興趣，將它們運用到更多地方。都可以可用于解微分，積分方程。斯變換的特例，里葉變換要寬， 總結本文先介紹了一些傅里葉變換的基礎知識，先后介紹了兩種不變換的性質，對重要的性質或定理進行了證明，并且介紹了兩種變換的應用，列舉了一些立體加以說明，最后總結了一下兩種變換的關系。的拉普拉斯變換的本質是fteβt的傅里葉變換，對于 來說，數（原函數乘以指數衰減函數項），分因子（ds=idω），這種變換就是的拉普拉斯變換。s 對原方程兩邊做拉普拉斯變換得：s2X39。 =ddss2Xssx0x39。=ddsLx39。0=0的解 解 （微分性質）可知Ltx39。+1nx39。 對每個像函數取逆變換： xt=L14s214s2(s21)=14L13s21+1s2 =14(3sh t+t)yt=L11s(s21)=L11sss21 =1ch t zt=L114s2(s21)=14L11s211s2 =14(sh tt)（變系數線性微分方程組） 求tx39。=0 滿足x0=y0=z0=0的解 解 設Lxt=X(s)，Lyt=Y(s)，Lzt=Z(s)。=1x+y39。t≥b（常系數線性微分方程組） 求x39。 （延遲性質）若L[ft]=Fs，t＜0時ft=0，則?τ＞0，τ為常數，有：Lftτ=esτFs （卷積定理） 如果F1s=L[f1t]，F2s=L[f2t]，那么Lf1t*f2t=F1sF2s 或者L1F1sF2s=f1t*f2t 證明 由定義有：Lf1t*f2t=0+∞f1t*f2testdt =0+∞0tf1τf2tτdτestdt 由于二重積分絕對可積，可交換積分次序：Lf1t*f2t=0+∞f1ττ+∞f2tτestdtdτ 令tτ=u：τ+∞f2tτestdt=0+∞f2uesu+tdu =esτF2s 故：Lf1t*f2t=0+∞f1τesτF2sdτ =F2s0+∞f1τesτdτ =F1sF2s （組） （線性微分方程） 求y39。 證明 令ht=0tftdt，則ht=ft，h0=0，則：Lh39。0…fn10 (Re s＞c) 更一般的，?n∈Z+，有：Lfnt=snFssn1f0sn2f39。 對上面的解取傅里葉逆變換，（δ函數的篩選性質） 原定解問題的解為： ux,t= F1Uω，t=12π∞+∞πcosωt+πωjsinωtδω+1+πcosωtπωjsinωtδω1ejωtdω=sintejxejx2j+costejx+ejx2=sintsinx
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