傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用-在線瀏覽
2024-08-06 16:09本頁面
【正文】 f(t)dt=F(ω)iω 證明 因?yàn)椤辴f(t)dt39。 δ函數(shù)及其傅里葉變換 （δ函數(shù)） 滿足：（1）δt=0， t≠0，∞，t=0，（2）∞+∞δtdt=1 的函數(shù)是δ函數(shù)。（δ函數(shù)的數(shù)學(xué)語言表述）δτt=1τ， 0?t?τ，0， 其他，τ→0時(shí)，δτt的極限叫做δ函數(shù)，記作δt＝limτ→0δτt（δtt0函數(shù)的數(shù)學(xué)語言表述）δτtt0=1τ， t0?t?t0+τ，0， 其他，τ→0時(shí)，δτtt0的極限叫做δtt0函數(shù)，記作δtt0＝limτ→0δτtt0（δ函數(shù)的篩選性質(zhì)） 對(duì)任意連續(xù)函數(shù)ft，有∞+∞δtftdt=f0∞+∞δtt0ftdt=ft0（δ函數(shù)的相似性質(zhì)）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，則：δat=1aδt （a≠0）（單位階躍函數(shù)）δ函數(shù)是單位階躍函數(shù)在t≠0時(shí)的導(dǎo)數(shù)δt=u39。（δ函數(shù)的傅里葉變換）因?yàn)镕δt=∞+∞δteiωtdt=eiωt|t=0=1Fδtt0=∞+∞δtt0eiωtdt=eiωt|t=t0=eiωt0所以δt F F1 , 1， δtt0 F F1 , eiωt0即δt和1，δtt0和eiωt0分別構(gòu)成了傅里葉變換對(duì)。 求積分方程0+∞gωsinωtdω=f(t)的解g(ω)，其中ft=π2sint， 0t≤π 0， tπ解 該積分方程可改寫為π20+∞gωsinωtdω=π2f(t) π2f(t)為的傅里葉正弦逆變換，故有：gω=0+∞π2gωsinωtdω=0πsintsinωtdt =120πcos1ωtcos1+ωtdt=sinωπ1ω2 求積分方程gt=ht+∞+∞fτgtτdτ， 其中ft，ht是已知函數(shù)，而且ft，gt，ht的傅里葉變換存在。（卷積）可 知，方程右端第二項(xiàng)=ft*gt。Gω， 所以Gω=Hω1Fω。t+bxt+c∞txtdt=h(t) 的解，其中∞t+∞，a，b，c均為常數(shù)， h(t)為已知函數(shù)解 （線性性質(zhì)），（微分性質(zhì)），（積分性質(zhì)），且記Fxt=Xω，F(xiàn)ht=H(ω)對(duì)原方程兩邊取傅里葉變換：ajωXω+bXω+cjωXω=H(ω),Xω=H(ω)b+jaωcω.而上式的傅里葉逆變換為xt=12π∞+∞Xωejωtdω=12π∞+∞Hωb+jaωcωejωtdω（一維波動(dòng)方程的初值問題） 用傅里葉變換求定解問題：?2u?t2=?2u?x2， ∞x+∞，t0u|t=0=cosx， ?u?t|t=0=sinx， 解 由于未知函數(shù)u(x,t)中x的變化范圍為(∞，+∞)， 故對(duì)方程和初值條件關(guān)于x取傅里葉變換，記Fux，t=Uω，t，F(xiàn)?2u?x2=(jω)2Uω，t=ω2Uω，t，F(xiàn)?2u?t2=?2?t2Fux，t=d2dt2Uω，t，F(xiàn)cosx=π[δω+1+δω1]，F(xiàn)sinx=πj[δω+1δω1]。 Uω，t是一個(gè)關(guān)于t：Uω，t=c1sinωt+c2cosωt。 因此初值問題的解為：Uω，t=πωjδ
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