正方形的判定與性質(zhì)(參考版)
2025-06-22 03:13本頁(yè)面
【正文】 ∴□AEDF是矩形在△BDE和△CDF中∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC又∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=DC∴△BDE≌△CDF∴DE=DF∴□AEDF是正方形點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是正方形的判定方法，考查了矩形、全等三角形等基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，判別一個(gè)四邊形是正方形主要是根據(jù)正方形的定義及其性質(zhì)．?！摺螧AC=90176。AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形DEAF是正方形．考點(diǎn)： 正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題： 證明題．分析： 由題意先證明□AEDF是矩形，再根據(jù)兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等來(lái)證△BDE≌△CDF，根據(jù)有一組對(duì)邊相等的矩形證明□AEDF是正方形．解答： 證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=90176。∠BAC、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為E、F．問(wèn)四邊形CFDE是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)： 正方形的判定；角平分線的性質(zhì)．分析： 首先利用垂直的定義證得四邊形CFDE是矩形，然后利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，從而判定該四邊形是正方形．解答： 證明：∵∠C=90176?！唷螦DE=∠BAF，在△AED和△BFA中，∴△AED≌△BFA，∴AE=BF，∴AF﹣AE=EF，即AF﹣BF=EF；（2）證明：∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90176?！唷螦DE+∠DAE=90176。從而得到四邊形EFGH是正方形．解答： 解：四邊形EFGH是正方形．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，∵AE=BF=CG=DH，∴AB﹣AE=BC﹣BF=CD﹣CG=AD﹣DH，即BE=CF=DG=AH，∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，∴EF=FG=GH=EH，∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，∴∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90176。∠NAD+∠BAM=90176。∴四邊形PQMN為矩形，∵AB=AD，∠M=∠N=90176?！螧PF+∠BPE=90176。∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，證明：過(guò)P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C為正方形對(duì)角線AC上的點(diǎn)，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90176?！郟F=PE，∴四邊形PECF為正方形，∵∠BPE+∠QPE=90176?！嗨倪呅蜨EFG為正方形；（2）過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90176?！唷螦HE+∠DHG=90176。HE=FG，可證△AHE≌△MFG，從而有FM=HA=2（即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2），進(jìn)而可求三角形面積；（3）先設(shè)DG=x，由第（2）小題得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，進(jìn)而可求x≤，從而可得當(dāng)x=時(shí)，△GCF的面積最?。獯穑?解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，四邊形HEFG為菱形，∴∠D=∠A=90176。HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90176?！郆E∥AF，∵BE=AF，∴得平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90176?！逜F⊥AC，∴∠EAF=90176?！唷螱HE=90176。易證四邊形HEFG為正方形；（2）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長(zhǎng)易求，只需求出GC邊的高，通過(guò)證明△AHE≌△MFG可得．解答： （1）證明：在△HDG和△AEH中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90176。DA=DC，∴DF=AC即線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC．點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性比較強(qiáng)，難度較大，但題型較好，訓(xùn)練了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題以及敢于猜想的能力．12．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6．菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，且AH=2，連接CF．（1）當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；（2）設(shè)DG=x，試用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．分析： （1）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90176。∴四邊形MBHG是矩形． ∵M(jìn)G=MB，∴四邊形MBHG是正方形，∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90176?！嗨倪呅蜛′B′C′D′是矩形．∵在△AB′B和△BC′C中，∴△AB′B≌△BC′C（AAS），∴AB′=BC′∵在△AA′E和△BB′F中，∴△AA′E≌△BB′F（AAS），∴AA′=BB′∴A′B′=B′C′∴矩形A′B′C′D′是正方形．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的判定，判定的方法是證明是矩形同時(shí)是菱形．11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊AD的延長(zhǎng)線上，且BM=DN．點(diǎn)E為MN的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與AC相交于點(diǎn)F．試猜想線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜想．考點(diǎn)： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．專題： 探究型．分析： 猜想：線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC，過(guò)點(diǎn)M作MG∥AD，與DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG． 根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明△AMG≌△CHG即可．解答： 猜想：線段DF垂直平分線段AC，且DF=AC，證明：過(guò)點(diǎn)M作MG∥AD，與DF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．則∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，∵∠M
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