數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例_本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))(參考版)
2025-08-23 12:02本頁面
【正文】 Method. 。( 0?xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且 0)( 0 ?? xf ， 0)( 0 ??? xf . (1)若 0)( 0 ??? xf ，則 f 在 0x 取得極大值 . (2)若 0)( 0 ??? xf ，則 f 在 0x 取得極小值 . 例 ：當(dāng) 0?x ， n為自然數(shù)時(shí)， )32)(22( 1s in)( 20 2 ????? nntd ttt nx. 證明：構(gòu)造輔助函數(shù) td tttxf nx 20 2 s in)()( ? ?? . 則 xxxxf n22 s in)()( ??? . 當(dāng) 10 ??x 時(shí)， 0)( ?? xf ,當(dāng) 1?x 時(shí)，除 ? ???? ,3,2,1kkx ? 時(shí) 0)( ?? xf 外，均有0)( ?? xf ，故 )( xf 在 10 ??x 時(shí)單調(diào)遞增，在 1?x 時(shí)單調(diào)遞減，因此 )(xf 在 ? ???,0上取最大值 )1(f .于是有 td tttfxf n210 2 s in)()1()( ? ??? dtttt n210 2 )(? ?? ? ?? ?? 10 2212 )( dttt nn 32 122 1 ???? nn )32)(22( 1 ??? nn. 例 2. 設(shè) 1?p ,求證： ]1,0[??x ，都有不等式 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 1)1(2 1 1 ????? ppp xx . 證明 : 令 pp xxxF )1()( ??? . 有 )(xF? = ])1([)1()1( 1111 ???? ?????? pppp xxpxppx . 令 0)( ?xF ，則 21?x . 而 22 )1)(1()1()( ?? ??????? pp xppxppxF . 又因?yàn)?1?p , 故 0])21()21) [ (1()21( 22 ?????? ?? ppppF . 故 )(xF 在 21?x 處取得極小值，又因?yàn)?1)0()1( ?? FF ,121)21( ?? PF. 所以 )(xF 在區(qū)間 [0,1]上的最大值為 1，最小值為121?P. 因此 1)1(2 11 ????? ppp px. 7 利用函數(shù)凹凸性證明不等式 定義 :設(shè) f 為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)，若對(duì) I 上的任意兩點(diǎn) 1x ， 2x ，和任 實(shí)數(shù) ? ?1,0?? 總有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2121 11 xfxfxxf ???? ??? , 則稱 f 為 I 上的 凸函數(shù) .反之，如果總有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2121 11 xfxfxxf ???? ??? , 則稱 f 為 I 上的 凹函數(shù) . 定理 :設(shè) f 為區(qū)間 I 上的二階可導(dǎo)函 數(shù)，則在 I 上 f 為凸（凹）函數(shù)的充要長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 12 條件是 0)( ??? xf （ ? ? 0??? xf ）， Ix? . 例 : yyxxyxyx lnln)2ln ()( ???? ),0,0( yxyx ??? . 證明 : 構(gòu)造函數(shù) xxxf ln)( ? ， )0( ?x ，這時(shí) , 01)( ???? xxf ,所以 )(xf 在 (0,+∞ )上是凸函數(shù) .所以 , yxyx ??? ,0,0 時(shí)，有 )2( yxf ? ? 2 )()( yfxf ? . 即 )2ln(2 yxyx ?? ? 2 lnln yyxx ? . 故 yyxxyxyx lnln)2ln ()( ???? ),0,0( yxyx ??? . 例 2：（著名的均值不等式）設(shè) ),2,1( niRai ??? ? 求證： n aaaaaa nnn ????? 2121 . 證明：設(shè) )0(ln)( ?? xxxf ,則 01)(2 ????? xxf. 所以 ( ) lnf x x? 在 ),0( ?? 上為凹函數(shù)，則由凹函數(shù)性質(zhì)可知 n aaan aaa nn ????????? 2121 lnlnlnln. 即 n aaaaaa nnn ?????? 21121 ln)ln ( . 即 n aaaaaa nnn ????? 2121 . 8 利用冪級(jí)數(shù)展開式證明不等式 證明方法 :根據(jù)幾個(gè)重要的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，如下： 長(zhǎng)春師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 ),(,!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??； ),(,)!12( 1)1(!31s i n 1213 ???????????? ?? xxnxxx nn ??； ),(,)!2( 1)1(!41!211c o s 242 ??????????? xxnxxx nn ??； )1,0(,11 1 2 ???????? xxxxx n ??； ]1,1(,)1(3121)1l n ( 132 ?????????? ? xnxxxxx nn ??． 例 )1,0(?x ，證明 xexx 211 ??? . 證明：因 xex 2,11? 分別可寫成冪級(jí)數(shù)展開式，有： )1,0(,2221)1)(1(11 22 ???????????????? xxxxxxxxxx nn ???? )1,0(,!2!2221 222 ??????? xxnxxe nnx ??． 則不等式左邊的一般項(xiàng)為 nx2 ，右邊的一般項(xiàng)為 !2nxnn ，而當(dāng) 3?n 時(shí) !22 nn? ， 所以， )1,0(,11 2 ???? xexx x . 9 利用著名不等式證明不等式 柯西不等式：設(shè) iiba, 為任意實(shí)數(shù)（ ni ,1?? ）則 ??? ??? ?? ni ini ini ii baba 1 21 221 )( ， 其中當(dāng)且僅當(dāng) iib
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